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Theorem facdiv 12055
Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
facdiv  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  (
( ! `  M
)  /  N )  e.  NN )

Proof of Theorem facdiv
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4291 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  ( N  <_  j  <->  N  <_  0 ) )
2 fveq2 5686 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  j )  =  ( ! ` 
0 ) )
32oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( ! `  j
)  /  N )  =  ( ( ! `
 0 )  /  N ) )
43eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN  <->  ( ( ! `  0 )  /  N )  e.  NN ) )
51, 4imbi12d 320 . . . 4  |-  ( j  =  0  ->  (
( N  <_  j  ->  ( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN )  <-> 
( N  <_  0  ->  ( ( ! ` 
0 )  /  N
)  e.  NN ) ) )
65imbi2d 316 . . 3  |-  ( j  =  0  ->  (
( N  e.  NN  ->  ( N  <_  j  ->  ( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN ) )  <->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  ->  ( ( ! `  0 )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
7 breq2 4291 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  ( N  <_  j  <->  N  <_  k ) )
8 fveq2 5686 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  k ) )
98oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( ! `  j
)  /  N )  =  ( ( ! `
 k )  /  N ) )
109eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN  <->  ( ( ! `  k )  /  N )  e.  NN ) )
117, 10imbi12d 320 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( N  <_  j  ->  ( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN )  <-> 
( N  <_  k  ->  ( ( ! `  k )  /  N
)  e.  NN ) ) )
1211imbi2d 316 . . 3  |-  ( j  =  k  ->  (
( N  e.  NN  ->  ( N  <_  j  ->  ( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN ) )  <->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  k  ->  ( ( ! `  k )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
13 breq2 4291 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( N  <_  j  <->  N  <_  ( k  +  1 ) ) )
14 fveq2 5686 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
1514oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  j
)  /  N )  =  ( ( ! `
 ( k  +  1 ) )  /  N ) )
1615eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN  <->  ( ( ! `  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) )
1713, 16imbi12d 320 . . . 4  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  <_  j  ->  ( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN )  <-> 
( N  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ( ! `
 ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) )
1817imbi2d 316 . . 3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  e.  NN  ->  ( N  <_  j  ->  ( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN ) )  <->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  ( k  +  1 )  ->  ( ( ! `  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
19 breq2 4291 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  ( N  <_  j  <->  N  <_  M ) )
20 fveq2 5686 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  M ) )
2120oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  (
( ! `  j
)  /  N )  =  ( ( ! `
 M )  /  N ) )
2221eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  (
( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN  <->  ( ( ! `  M )  /  N )  e.  NN ) )
2319, 22imbi12d 320 . . . 4  |-  ( j  =  M  ->  (
( N  <_  j  ->  ( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN )  <-> 
( N  <_  M  ->  ( ( ! `  M )  /  N
)  e.  NN ) ) )
2423imbi2d 316 . . 3  |-  ( j  =  M  ->  (
( N  e.  NN  ->  ( N  <_  j  ->  ( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN ) )  <->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  M  ->  ( ( ! `  M )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
25 nngt0 10343 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
26 0re 9378 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
27 nnre 10321 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
28 ltnle 9446 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  N  <->  -.  N  <_  0 ) )
2926, 27, 28sylancr 663 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <  N  <->  -.  N  <_  0 ) )
3025, 29mpbid 210 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  <_  0 )
3130pm2.21d 106 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  ->  (
( ! `  0
)  /  N )  e.  NN ) )
32 peano2nn0 10612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
3332nn0red 10629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
34 leloe 9453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( N  <_ 
( k  +  1 )  <->  ( N  < 
( k  +  1 )  \/  N  =  ( k  +  1 ) ) ) )
3527, 33, 34syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  (
k  +  1 )  <-> 
( N  <  (
k  +  1 )  \/  N  =  ( k  +  1 ) ) ) )
36 nnnn0 10578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
37 nn0leltp1 10695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  k  <->  N  <  ( k  +  1 ) ) )
3836, 37sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  k  <->  N  <  ( k  +  1 ) ) )
39 nn0p1nn 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
40 nnmulcl 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ! `  k )  /  N
)  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  k )  /  N )  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
4139, 40sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ! `  k )  /  N
)  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 k )  /  N )  x.  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
4241expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  k
)  /  N )  e.  NN  ->  (
( ( ! `  k )  /  N
)  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN ) )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 k )  /  N )  e.  NN  ->  ( ( ( ! `
 k )  /  N )  x.  (
k  +  1 ) )  e.  NN ) )
44 faccl 12053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
4544nncnd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  CC )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  CC )
4732nn0cnd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  CC )
49 nncn 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
50 nnne0 10346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
5149, 50jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
53 div23 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  =  ( ( ( ! `
 k )  /  N )  x.  (
k  +  1 ) ) )
5446, 48, 52, 53syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N
)  =  ( ( ( ! `  k
)  /  N )  x.  ( k  +  1 ) ) )
5554eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN  <->  ( ( ( ! `  k )  /  N
)  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN ) )
5643, 55sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 k )  /  N )  e.  NN  ->  ( ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N
)  e.  NN ) )
5756imim2d 52 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  <_ 
k  ->  ( ( ! `  k )  /  N )  e.  NN )  ->  ( N  <_ 
k  ->  ( (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) )
5857com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  k  ->  ( ( N  <_ 
k  ->  ( ( ! `  k )  /  N )  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) )
5938, 58sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  <  (
k  +  1 )  ->  ( ( N  <_  k  ->  (
( ! `  k
)  /  N )  e.  NN )  -> 
( ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N
)  e.  NN ) ) )
6049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
6150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  =/=  0 )
6246, 60, 61divcan4d 10105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 k )  x.  N )  /  N
)  =  ( ! `
 k ) )
6344adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  NN )
6462, 63eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 k )  x.  N )  /  N
)  e.  NN )
65 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  k
)  x.  N )  =  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
6665oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ! `  k )  x.  N
)  /  N )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N ) )
6766eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( ! `
 k )  x.  N )  /  N
)  e.  NN  <->  ( (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) )
6864, 67syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  =  ( k  +  1 )  ->  ( ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) )
6968a1dd 46 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  =  ( k  +  1 )  ->  ( ( N  <_  k  ->  (
( ! `  k
)  /  N )  e.  NN )  -> 
( ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N
)  e.  NN ) ) )
7059, 69jaod 380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  < 
( k  +  1 )  \/  N  =  ( k  +  1 ) )  ->  (
( N  <_  k  ->  ( ( ! `  k )  /  N
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) )
7135, 70sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ( N  <_  k  ->  (
( ! `  k
)  /  N )  e.  NN )  -> 
( ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N
)  e.  NN ) ) )
7271ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
k  e.  NN0  ->  ( N  <_  ( k  +  1 )  -> 
( ( N  <_ 
k  ->  ( ( ! `  k )  /  N )  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
7372com34 83 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
k  e.  NN0  ->  ( ( N  <_  k  ->  ( ( ! `  k )  /  N
)  e.  NN )  ->  ( N  <_ 
( k  +  1 )  ->  ( (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
7473com12 31 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN  ->  (
( N  <_  k  ->  ( ( ! `  k )  /  N
)  e.  NN )  ->  ( N  <_ 
( k  +  1 )  ->  ( (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
7574imp4d 592 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  <_ 
k  ->  ( ( ! `  k )  /  N )  e.  NN )  /\  N  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) )
76 facp1 12048 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
7776oveq1d 6101 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( k  +  1 ) )  /  N )  =  ( ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N
) )
7877eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  (
k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN  <->  ( (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) )
7975, 78sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  <_ 
k  ->  ( ( ! `  k )  /  N )  e.  NN )  /\  N  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( ! `  (
k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) )
8079exp4d 609 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN  ->  (
( N  <_  k  ->  ( ( ! `  k )  /  N
)  e.  NN )  ->  ( N  <_ 
( k  +  1 )  ->  ( ( ! `  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
8180a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  k  ->  ( ( ! `  k
)  /  N )  e.  NN ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  ( k  +  1 )  ->  ( ( ! `  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
826, 12, 18, 24, 31, 81nn0ind 10730 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  M  ->  (
( ! `  M
)  /  N )  e.  NN ) ) )
83823imp 1181 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  (
( ! `  M
)  /  N )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    / cdiv 9985   NNcn 10314   NN0cn0 10571   !cfa 12043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-seq 11799  df-fac 12044
This theorem is referenced by:  facndiv  12056  eirrlem  13478
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