Theorem facavg 8207

Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average.

Assertion

Ref	Expression
facavg	|- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ ((!` M) x. (!` N)))

Proof of Theorem facavg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		avgle 7231	. . 3 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (((M + N) / 2) <_ M \/ ((M + N) / 2) <_ N))
2		nn0re 7317	. . 3 |- (M e. NN0 -> M e. RR)
3		nn0re 7317	. . 3 |- (N e. NN0 -> N e. RR)
4	1, 2, 3	syl2an 503	. 2 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (((M + N) / 2) <_ M \/ ((M + N) / 2) <_ N))
5		nn0addcl 7329	. . . . . . 7 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M + N) e. NN0)
6		nn0re 7317	. . . . . . 7 |- ((M + N) e. NN0 -> (M + N) e. RR)
7	5, 6	syl 12	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M + N) e. RR)
8		rehalfcl 7220	. . . . . 6 |- ((M + N) e. RR -> ((M + N) / 2) e. RR)
9		flle 7468	. . . . . 6 |- (((M + N) / 2) e. RR -> (|_` ((M + N) / 2)) <_ ((M + N) / 2))
10	7, 8, 9	3syl 24	. . . . 5 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (|_` ((M + N) / 2)) <_ ((M + N) / 2))
11		reflcl 7466	. . . . . . 7 |- (((M + N) / 2) e. RR -> (|_` ((M + N) / 2)) e. RR)
12	7, 8, 11	3syl 24	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (|_` ((M + N) / 2)) e. RR)
13	5, 6, 8	3syl 24	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M + N) / 2) e. RR)
14	2	adantr 425	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> M e. RR)
15		letr 6695	. . . . . 6 |- (((|_` ((M + N) / 2)) e. RR /\ ((M + N) / 2) e. RR /\ M e. RR) -> (((|_` ((M + N) / 2)) <_ ((M + N) / 2) /\ ((M + N) / 2) <_ M) -> (|_` ((M + N) / 2)) <_ M))
16	12, 13, 14, 15	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (((|_` ((M + N) / 2)) <_ ((M + N) / 2) /\ ((M + N) / 2) <_ M) -> (|_` ((M + N) / 2)) <_ M))
17	10, 16	mpand 765	. . . 4 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (((M + N) / 2) <_ M -> (|_` ((M + N) / 2)) <_ M))
18		nn0ge0 7326	. . . . . . . 8 |- ((M + N) e. NN0 -> 0 <_ (M + N))
19	5, 18	syl 12	. . . . . . 7 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> 0 <_ (M + N))
20		halfnneg2 7224	. . . . . . . 8 |- ((M + N) e. RR -> (0 <_ (M + N) <-> 0 <_ ((M + N) / 2)))
21	5, 6, 20	3syl 24	. . . . . . 7 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (0 <_ (M + N) <-> 0 <_ ((M + N) / 2)))
22	19, 21	mpbid 212	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> 0 <_ ((M + N) / 2))
23		flge0nn0 7482	. . . . . 6 |- ((((M + N) / 2) e. RR /\ 0 <_ ((M + N) / 2)) -> (|_` ((M + N) / 2)) e. NN0)
24	13, 22, 23	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (|_` ((M + N) / 2)) e. NN0)
25		simpl 346	. . . . 5 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> M e. NN0)
26		facwordi 8196	. . . . . 6 |- (((|_` ((M + N) / 2)) e. NN0 /\ M e. NN0 /\ (|_` ((M + N) / 2)) <_ M) -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ (!` M))
27	26	3exp 1066	. . . . 5 |- ((|_` ((M + N) / 2)) e. NN0 -> (M e. NN0 -> ((|_` ((M + N) / 2)) <_ M -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ (!` M))))
28	24, 25, 27	sylc 83	. . . 4 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((|_` ((M + N) / 2)) <_ M -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ (!` M)))
29		faccl 8192	. . . . . . . 8 |- (M e. NN0 -> (!` M) e. NN)
30		nncn 7113	. . . . . . . 8 |- ((!` M) e. NN -> (!` M) e. CC)
31		ax1id 6435	. . . . . . . 8 |- ((!` M) e. CC -> ((!` M) x. 1) = (!` M))
32	29, 30, 31	3syl 24	. . . . . . 7 |- (M e. NN0 -> ((!` M) x. 1) = (!` M))
33	32	adantr 425	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((!` M) x. 1) = (!` M))
34		faccl 8192	. . . . . . . . . 10 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. NN)
35		nnre 7112	. . . . . . . . . 10 |- ((!` N) e. NN -> (!` N) e. RR)
36	34, 35	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. RR)
37		nnre 7112	. . . . . . . . . 10 |- ((!` M) e. NN -> (!` M) e. RR)
38	29, 37	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN0 -> (!` M) e. RR)
39	36, 38	anim12i 360	. . . . . . . 8 |- ((N e. NN0 /\ M e. NN0) -> ((!` N) e. RR /\ (!` M) e. RR))
40	39	ancoms 484	. . . . . . 7 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((!` N) e. RR /\ (!` M) e. RR))
41		nnnn0 7315	. . . . . . . . 9 |- ((!` M) e. NN -> (!` M) e. NN0)
42		nn0ge0 7326	. . . . . . . . 9 |- ((!` M) e. NN0 -> 0 <_ (!` M))
43	29, 41, 42	3syl 24	. . . . . . . 8 |- (M e. NN0 -> 0 <_ (!` M))
44		nnge1 7126	. . . . . . . . 9 |- ((!` N) e. NN -> 1 <_ (!` N))
45	34, 44	syl 12	. . . . . . . 8 |- (N e. NN0 -> 1 <_ (!` N))
46	43, 45	anim12i 360	. . . . . . 7 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (0 <_ (!` M) /\ 1 <_ (!` N)))
47		1re 6598	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
48		lemul2aOLD 7022	. . . . . . . 8 |- (((1 e. RR /\ (!` N) e. RR /\ (!` M) e. RR) /\ (0 <_ (!` M) /\ 1 <_ (!` N))) -> ((!` M) x. 1) <_ ((!` M) x. (!` N)))
49	47, 48	mp3anl1 1185	. . . . . . 7 |- ((((!` N) e. RR /\ (!` M) e. RR) /\ (0 <_ (!` M) /\ 1 <_ (!` N))) -> ((!` M) x. 1) <_ ((!` M) x. (!` N)))
50	40, 46, 49	syl11anc 524	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((!` M) x. 1) <_ ((!` M) x. (!` N)))
51	33, 50	eqbrtrrd 3359	. . . . 5 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (!` M) <_ ((!` M) x. (!` N)))
52		faccl 8192	. . . . . . 7 |- ((|_` ((M + N) / 2)) e. NN0 -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) e. NN)
53		nnre 7112	. . . . . . 7 |- ((!` (|_` ((M + N) / 2))) e. NN -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) e. RR)
54	24, 52, 53	3syl 24	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) e. RR)
55	38	adantr 425	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (!` M) e. RR)
56		remulcl 6457	. . . . . . 7 |- (((!` M) e. RR /\ (!` N) e. RR) -> ((!` M) x. (!` N)) e. RR)
57	56, 38, 36	syl2an 503	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((!` M) x. (!` N)) e. RR)
58		letr 6695	. . . . . 6 |- (((!` (|_` ((M + N) / 2))) e. RR /\ (!` M) e. RR /\ ((!` M) x. (!` N)) e. RR) -> (((!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ (!` M) /\ (!` M) <_ ((!` M) x. (!` N))) -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ ((!` M) x. (!` N))))
59	54, 55, 57, 58	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (((!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ (!` M) /\ (!` M) <_ ((!` M) x. (!` N))) -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ ((!` M) x. (!` N))))
60	51, 59	mpan2d 766	. . . 4 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ (!` M) -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ ((!` M) x. (!` N))))
61	17, 28, 60	3syld 31	. . 3 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (((M + N) / 2) <_ M -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ ((!` M) x. (!` N))))
62	3	adantl 424	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> N e. RR)
63		letr 6695	. . . . . 6 |- (((|_` ((M + N) / 2)) e. RR /\ ((M + N) / 2) e. RR /\ N e. RR) -> (((|_` ((M + N) / 2)) <_ ((M + N) / 2) /\ ((M + N) / 2) <_ N) -> (|_` ((M + N) / 2)) <_ N))
64	12, 13, 62, 63	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (((|_` ((M + N) / 2)) <_ ((M + N) / 2) /\ ((M + N) / 2) <_ N) -> (|_` ((M + N) / 2)) <_ N))
65	10, 64	mpand 765	. . . 4 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (((M + N) / 2) <_ N -> (|_` ((M + N) / 2)) <_ N))
66		simpr 350	. . . . 5 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> N e. NN0)
67		facwordi 8196	. . . . . 6 |- (((|_` ((M + N) / 2)) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ (|_` ((M + N) / 2)) <_ N) -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ (!` N))
68	67	3exp 1066	. . . . 5 |- ((|_` ((M + N) / 2)) e. NN0 -> (N e. NN0 -> ((|_` ((M + N) / 2)) <_ N -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ (!` N))))
69	24, 66, 68	sylc 83	. . . 4 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((|_` ((M + N) / 2)) <_ N -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ (!` N)))
70		nncn 7113	. . . . . . . 8 |- ((!` N) e. NN -> (!` N) e. CC)
71		mulid2 6578	. . . . . . . 8 |- ((!` N) e. CC -> (1 x. (!` N)) = (!` N))
72	34, 70, 71	3syl 24	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> (1 x. (!` N)) = (!` N))
73	72	adantl 424	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 x. (!` N)) = (!` N))
74	38, 36	anim12i 360	. . . . . . 7 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((!` M) e. RR /\ (!` N) e. RR))
75		nnnn0 7315	. . . . . . . . . 10 |- ((!` N) e. NN -> (!` N) e. NN0)
76		nn0ge0 7326	. . . . . . . . . 10 |- ((!` N) e. NN0 -> 0 <_ (!` N))
77	34, 75, 76	3syl 24	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN0 -> 0 <_ (!` N))
78		nnge1 7126	. . . . . . . . . 10 |- ((!` M) e. NN -> 1 <_ (!` M))
79	29, 78	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN0 -> 1 <_ (!` M))
80	77, 79	anim12i 360	. . . . . . . 8 |- ((N e. NN0 /\ M e. NN0) -> (0 <_ (!` N) /\ 1 <_ (!` M)))
81	80	ancoms 484	. . . . . . 7 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (0 <_ (!` N) /\ 1 <_ (!` M)))
82		lemul1aOLD 7020	. . . . . . . 8 |- (((1 e. RR /\ (!` M) e. RR /\ (!` N) e. RR) /\ (0 <_ (!` N) /\ 1 <_ (!` M))) -> (1 x. (!` N)) <_ ((!` M) x. (!` N)))
83	47, 82	mp3anl1 1185	. . . . . . 7 |- ((((!` M) e. RR /\ (!` N) e. RR) /\ (0 <_ (!` N) /\ 1 <_ (!` M))) -> (1 x. (!` N)) <_ ((!` M) x. (!` N)))
84	74, 81, 83	syl11anc 524	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 x. (!` N)) <_ ((!` M) x. (!` N)))
85	73, 84	eqbrtrrd 3359	. . . . 5 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (!` N) <_ ((!` M) x. (!` N)))
86	36	adantl 424	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (!` N) e. RR)
87		letr 6695	. . . . . 6 |- (((!` (|_` ((M + N) / 2))) e. RR /\ (!` N) e. RR /\ ((!` M) x. (!` N)) e. RR) -> (((!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ (!` N) /\ (!` N) <_ ((!` M) x. (!` N))) -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ ((!` M) x. (!` N))))
88	54, 86, 57, 87	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (((!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ (!` N) /\ (!` N) <_ ((!` M) x. (!` N))) -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ ((!` M) x. (!` N))))
89	85, 88	mpan2d 766	. . . 4 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ (!` N) -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ ((!` M) x. (!` N))))
90	65, 69, 89	3syld 31	. . 3 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (((M + N) / 2) <_ N -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ ((!` M) x. (!` N))))
91	61, 90	jaod 469	. 2 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((((M + N) / 2) <_ M \/ ((M + N) / 2) <_ N) -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ ((!` M) x. (!` N))))
92	4, 91	mpd 29	1 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (!` (|_` ((M + N) / 2))) <_ ((!` M) x. (!` N)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450  2c2 7145  |_cfl 7462  !cfa 8183

This theorem is referenced by:  efaddlem15 8614

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-seq1 7721  df-fac 8184

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