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Theorem facavg 12382
Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facavg  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ( ! `
 M )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem facavg
StepHypRef Expression
1 nn0readdcl 10879 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  RR )
21rehalfcld 10806 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( M  +  N )  /  2
)  e.  RR )
3 flle 11939 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  /  2 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
) )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  <_  ( ( M  +  N )  /  2 ) )
5 reflcl 11936 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  +  N
)  /  2 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  e.  RR )
62, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  RR )
7 nn0re 10825 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
87adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
9 letr 9695 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( ( M  +  N )  /  2
)  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
)  /\  ( ( M  +  N )  /  2 )  <_  M )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  M ) )
106, 2, 8, 9syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( |_
`  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
)  /\  ( ( M  +  N )  /  2 )  <_  M )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  M ) )
114, 10mpand 675 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  M  ->  ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  <_  M )
)
12 nn0addcl 10852 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
1312nn0ge0d 10876 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( M  +  N ) )
14 halfnneg2 10791 . . . . . . 7  |-  ( ( M  +  N )  e.  RR  ->  (
0  <_  ( M  +  N )  <->  0  <_  ( ( M  +  N
)  /  2 ) ) )
151, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( M  +  N )  <->  0  <_  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )
1613, 15mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( M  +  N )  /  2 ) )
17 flge0nn0 11957 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  +  N )  /  2
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  NN0 )
182, 16, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  NN0 )
19 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
20 facwordi 12370 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  NN0  /\  M  e.  NN0  /\  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  M )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  M
) )
21203exp 1195 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  <_  M  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  M
) ) ) )
2218, 19, 21sylc 60 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) )  <_  M  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ! `  M ) ) )
23 faccl 12366 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  NN )
2423nncnd 10572 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  CC )
2524mulid1d 9630 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ! `  M )  x.  1 )  =  ( ! `  M
) )
2625adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  x.  1 )  =  ( ! `
 M ) )
27 faccl 12366 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
2827nnred 10571 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
2928adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  N
)  e.  RR )
3023nnred 10571 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  RR )
3123nnnn0d 10873 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e. 
NN0 )
3231nn0ge0d 10876 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  M
) )
3330, 32jca 532 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ! `  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  M
) ) )
3433adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  M ) ) )
3527nnge1d 10599 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  <_ 
( ! `  N
) )
3635adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  <_  ( ! `  N ) )
37 1re 9612 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
38 lemul2a 10418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  ( ! `  N
)  e.  RR  /\  ( ( ! `  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  M ) ) )  /\  1  <_  ( ! `  N )
)  ->  ( ( ! `  M )  x.  1 )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )
3937, 38mp3anl1 1318 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  ( ( ! `  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  M ) ) )  /\  1  <_  ( ! `  N )
)  ->  ( ( ! `  M )  x.  1 )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )
4029, 34, 36, 39syl21anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  x.  1 )  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N
) ) )
4126, 40eqbrtrrd 4478 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N
) ) )
42 faccl 12366 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  e.  NN )
4318, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  e.  NN )
4443nnred 10571 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  e.  RR )
4530adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  M
)  e.  RR )
46 remulcl 9594 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  M
)  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  -> 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
4730, 28, 46syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
48 letr 9695 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ! `  M )  e.  RR  /\  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR )  ->  (
( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) ) )  <_  ( ! `  M )  /\  ( ! `  M )  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
4944, 45, 47, 48syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  M
)  /\  ( ! `  M )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )  ->  ( ! `  ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) ) )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
5041, 49mpan2d 674 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) ) )  <_  ( ! `  M )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
5111, 22, 503syld 55 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  M  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ( ! `
 M )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
52 nn0re 10825 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
5352adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
54 letr 9695 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( ( M  +  N )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
)  /\  ( ( M  +  N )  /  2 )  <_  N )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  N ) )
556, 2, 53, 54syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( |_
`  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
)  /\  ( ( M  +  N )  /  2 )  <_  N )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  N ) )
564, 55mpand 675 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  N  ->  ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  <_  N )
)
57 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
58 facwordi 12370 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  N )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  N
) )
59583exp 1195 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  <_  N  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  N
) ) ) )
6018, 57, 59sylc 60 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) )  <_  N  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ! `  N ) ) )
6127nncnd 10572 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
6261mulid2d 9631 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
6362adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  =  ( ! `
 N ) )
6427nnnn0d 10873 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e. 
NN0 )
6564nn0ge0d 10876 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  N
) )
6628, 65jca 532 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  N
) ) )
6766adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  N ) ) )
6823nnge1d 10599 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  1  <_ 
( ! `  M
) )
6968adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  <_  ( ! `  M ) )
70 lemul1a 10417 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  ( ! `  M
)  e.  RR  /\  ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  N ) ) )  /\  1  <_  ( ! `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) )
7137, 70mp3anl1 1318 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ! `  M )  e.  RR  /\  ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  N ) ) )  /\  1  <_  ( ! `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) )
7245, 67, 69, 71syl21anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N
) ) )
7363, 72eqbrtrrd 4478 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  N
)  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N
) ) )
74 letr 9695 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR  /\  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR )  ->  (
( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) ) )  <_  ( ! `  N )  /\  ( ! `  N )  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
7544, 29, 47, 74syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  N
)  /\  ( ! `  N )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )  ->  ( ! `  ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) ) )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
7673, 75mpan2d 674 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) ) )  <_  ( ! `  N )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
7756, 60, 763syld 55 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  N  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ( ! `
 M )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
78 avgle 10801 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  M  \/  ( ( M  +  N )  /  2
)  <_  N )
)
797, 52, 78syl2an 477 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  M  \/  ( ( M  +  N )  /  2
)  <_  N )
)
8051, 77, 79mpjaod 381 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ( ! `
 M )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    <_ cle 9646    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   |_cfl 11930   !cfa 12356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fl 11932  df-seq 12111  df-fac 12357
This theorem is referenced by: (None)
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