Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facavg Structured version   Unicode version

Theorem facavg 12382
 Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facavg

Proof of Theorem facavg
StepHypRef Expression
1 nn0readdcl 10879 . . . . . 6
21rehalfcld 10806 . . . . 5
3 flle 11939 . . . . 5
42, 3syl 16 . . . 4
5 reflcl 11936 . . . . . 6
62, 5syl 16 . . . . 5
7 nn0re 10825 . . . . . 6
87adantr 465 . . . . 5
9 letr 9695 . . . . 5
106, 2, 8, 9syl3anc 1228 . . . 4
114, 10mpand 675 . . 3
12 nn0addcl 10852 . . . . . . 7
1312nn0ge0d 10876 . . . . . 6
14 halfnneg2 10791 . . . . . . 7
151, 14syl 16 . . . . . 6
1613, 15mpbid 210 . . . . 5
17 flge0nn0 11957 . . . . 5
182, 16, 17syl2anc 661 . . . 4
19 simpl 457 . . . 4
20 facwordi 12370 . . . . 5
21203exp 1195 . . . 4
2218, 19, 21sylc 60 . . 3
23 faccl 12366 . . . . . . . 8
2423nncnd 10572 . . . . . . 7
2524mulid1d 9630 . . . . . 6
2625adantr 465 . . . . 5
27 faccl 12366 . . . . . . . 8
2827nnred 10571 . . . . . . 7
2928adantl 466 . . . . . 6
3023nnred 10571 . . . . . . . 8
3123nnnn0d 10873 . . . . . . . . 9
3231nn0ge0d 10876 . . . . . . . 8
3330, 32jca 532 . . . . . . 7
3433adantr 465 . . . . . 6
3527nnge1d 10599 . . . . . . 7
3635adantl 466 . . . . . 6
37 1re 9612 . . . . . . 7
38 lemul2a 10418 . . . . . . 7
3937, 38mp3anl1 1318 . . . . . 6
4029, 34, 36, 39syl21anc 1227 . . . . 5
4126, 40eqbrtrrd 4478 . . . 4
42 faccl 12366 . . . . . . 7
4318, 42syl 16 . . . . . 6
4443nnred 10571 . . . . 5
4530adantr 465 . . . . 5
46 remulcl 9594 . . . . . 6
4730, 28, 46syl2an 477 . . . . 5
48 letr 9695 . . . . 5
4944, 45, 47, 48syl3anc 1228 . . . 4
5041, 49mpan2d 674 . . 3
5111, 22, 503syld 55 . 2
52 nn0re 10825 . . . . . 6
5352adantl 466 . . . . 5
54 letr 9695 . . . . 5
556, 2, 53, 54syl3anc 1228 . . . 4
564, 55mpand 675 . . 3
57 simpr 461 . . . 4
58 facwordi 12370 . . . . 5
59583exp 1195 . . . 4
6018, 57, 59sylc 60 . . 3
6127nncnd 10572 . . . . . . 7
6261mulid2d 9631 . . . . . 6
6362adantl 466 . . . . 5
6427nnnn0d 10873 . . . . . . . . 9
6564nn0ge0d 10876 . . . . . . . 8
6628, 65jca 532 . . . . . . 7
6766adantl 466 . . . . . 6
6823nnge1d 10599 . . . . . . 7
6968adantr 465 . . . . . 6
70 lemul1a 10417 . . . . . . 7
7137, 70mp3anl1 1318 . . . . . 6
7245, 67, 69, 71syl21anc 1227 . . . . 5
7363, 72eqbrtrrd 4478 . . . 4
74 letr 9695 . . . . 5
7544, 29, 47, 74syl3anc 1228 . . . 4
7673, 75mpan2d 674 . . 3
7756, 60, 763syld 55 . 2
78 avgle 10801 . . 3
797, 52, 78syl2an 477 . 2
8051, 77, 79mpjaod 381 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   class class class wbr 4456  cfv 5594  (class class class)co 6296  cr 9508  cc0 9509  c1 9510   caddc 9512   cmul 9514   cle 9646   cdiv 10227  cn 10556  c2 10606  cn0 10816  cfl 11930  cfa 12356 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fl 11932  df-seq 12111  df-fac 12357 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator