MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fac0 Structured version   Unicode version

Theorem fac0 12172
Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fac0  |-  ( ! `
 0 )  =  1

Proof of Theorem fac0
StepHypRef Expression
1 c0ex 9492 . 2  |-  0  e.  _V
2 1ex 9493 . 2  |-  1  e.  _V
3 df-fac 12170 . . 3  |-  !  =  ( { <. 0 ,  1 >. }  u.  seq 1 (  x.  ,  _I  ) )
4 nnuz 11008 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5 dfn2 10704 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
64, 5eqtr3i 2485 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  ( NN0  \  { 0 } )
76reseq2i 5216 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( NN0  \  {
0 } ) )
8 1z 10788 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
9 seqfn 11936 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  x.  ,  _I  )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
10 fnresdm 5629 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)  =  seq 1
(  x.  ,  _I  ) )
118, 9, 10mp2b 10 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  =  seq 1 (  x.  ,  _I  )
127, 11eqtr3i 2485 . . . 4  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( NN0  \  { 0 } ) )  =  seq 1
(  x.  ,  _I  )
1312uneq2i 3616 . . 3  |-  ( {
<. 0 ,  1
>. }  u.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( NN0  \  { 0 } ) ) )  =  ( { <. 0 ,  1
>. }  u.  seq 1
(  x.  ,  _I  ) )
143, 13eqtr4i 2486 . 2  |-  !  =  ( { <. 0 ,  1 >. }  u.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( NN0  \  { 0 } ) ) )
151, 2, 14fvsnun1 6023 1  |-  ( ! `
 0 )  =  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3434    u. cun 3435   {csn 3986   <.cop 3992    _I cid 4740    |` cres 4951    Fn wfn 5522   ` cfv 5527   0cc0 9394   1c1 9395    x. cmul 9399   NNcn 10434   NN0cn0 10691   ZZcz 10758   ZZ>=cuz 10973    seqcseq 11924   !cfa 12169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-seq 11925  df-fac 12170
This theorem is referenced by:  facp1  12174  faccl  12179  facwordi  12183  faclbnd  12184  faclbnd4lem3  12189  facubnd  12194  bcn0  12204  bcval5  12212  hashf1  12329  ef0lem  13483  ege2le3  13494  eft0val  13515  prmfac1  13923  pcfac  14080  tayl0  21961  logfac  22183  advlogexp  22234  logexprlim  22698  facgam  27197  subfacval2  27220  fprodfac  27628  fallfacfac  27693  faclim  27697
  Copyright terms: Public domain W3C validator