MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fac0 Structured version   Unicode version

Theorem fac0 12046
Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fac0  |-  ( ! `
 0 )  =  1

Proof of Theorem fac0
StepHypRef Expression
1 c0ex 9372 . 2  |-  0  e.  _V
2 1ex 9373 . 2  |-  1  e.  _V
3 df-fac 12044 . . 3  |-  !  =  ( { <. 0 ,  1 >. }  u.  seq 1 (  x.  ,  _I  ) )
4 nnuz 10888 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5 dfn2 10584 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
64, 5eqtr3i 2460 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  ( NN0  \  { 0 } )
76reseq2i 5102 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( NN0  \  {
0 } ) )
8 1z 10668 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
9 seqfn 11810 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  x.  ,  _I  )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
10 fnresdm 5515 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)  =  seq 1
(  x.  ,  _I  ) )
118, 9, 10mp2b 10 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  =  seq 1 (  x.  ,  _I  )
127, 11eqtr3i 2460 . . . 4  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( NN0  \  { 0 } ) )  =  seq 1
(  x.  ,  _I  )
1312uneq2i 3502 . . 3  |-  ( {
<. 0 ,  1
>. }  u.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( NN0  \  { 0 } ) ) )  =  ( { <. 0 ,  1
>. }  u.  seq 1
(  x.  ,  _I  ) )
143, 13eqtr4i 2461 . 2  |-  !  =  ( { <. 0 ,  1 >. }  u.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( NN0  \  { 0 } ) ) )
151, 2, 14fvsnun1 5908 1  |-  ( ! `
 0 )  =  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3320    u. cun 3321   {csn 3872   <.cop 3878    _I cid 4626    |` cres 4837    Fn wfn 5408   ` cfv 5413   0cc0 9274   1c1 9275    x. cmul 9279   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853    seqcseq 11798   !cfa 12043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-seq 11799  df-fac 12044
This theorem is referenced by:  facp1  12048  faccl  12053  facwordi  12057  faclbnd  12058  faclbnd4lem3  12063  facubnd  12068  bcn0  12078  bcval5  12086  hashf1  12202  ef0lem  13356  ege2le3  13367  eft0val  13388  prmfac1  13796  pcfac  13953  tayl0  21802  logfac  22024  advlogexp  22075  logexprlim  22539  facgam  27004  subfacval2  27027  fprodfac  27434  fallfacfac  27499  faclim  27503
  Copyright terms: Public domain W3C validator