MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fac0 Structured version   Unicode version

Theorem fac0 12311
Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fac0  |-  ( ! `
 0 )  =  1

Proof of Theorem fac0
StepHypRef Expression
1 c0ex 9579 . 2  |-  0  e.  _V
2 1ex 9580 . 2  |-  1  e.  _V
3 df-fac 12309 . . 3  |-  !  =  ( { <. 0 ,  1 >. }  u.  seq 1 (  x.  ,  _I  ) )
4 nnuz 11106 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5 dfn2 10797 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
64, 5eqtr3i 2491 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  ( NN0  \  { 0 } )
76reseq2i 5261 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( NN0  \  {
0 } ) )
8 1z 10883 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
9 seqfn 12075 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  x.  ,  _I  )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
10 fnresdm 5681 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)  =  seq 1
(  x.  ,  _I  ) )
118, 9, 10mp2b 10 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  =  seq 1 (  x.  ,  _I  )
127, 11eqtr3i 2491 . . . 4  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( NN0  \  { 0 } ) )  =  seq 1
(  x.  ,  _I  )
1312uneq2i 3648 . . 3  |-  ( {
<. 0 ,  1
>. }  u.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( NN0  \  { 0 } ) ) )  =  ( { <. 0 ,  1
>. }  u.  seq 1
(  x.  ,  _I  ) )
143, 13eqtr4i 2492 . 2  |-  !  =  ( { <. 0 ,  1 >. }  u.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  )  |`  ( NN0  \  { 0 } ) ) )
151, 2, 14fvsnun1 6087 1  |-  ( ! `
 0 )  =  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1374    e. wcel 1762    \ cdif 3466    u. cun 3467   {csn 4020   <.cop 4026    _I cid 4783    |` cres 4994    Fn wfn 5574   ` cfv 5579   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486   NNcn 10525   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071    seqcseq 12063   !cfa 12308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-seq 12064  df-fac 12309
This theorem is referenced by:  facp1  12313  faccl  12318  facwordi  12322  faclbnd  12323  faclbnd4lem3  12328  facubnd  12333  bcn0  12343  bcval5  12351  hashf1  12459  ef0lem  13665  ege2le3  13676  eft0val  13697  prmfac1  14107  pcfac  14266  tayl0  22484  logfac  22706  advlogexp  22757  logexprlim  23221  facgam  28234  subfacval2  28257  fprodfac  28665  fallfacfac  28730  faclim  28734
  Copyright terms: Public domain W3C validator