Theorem f1oweALT 6768

Description: Alternate proof of f1owe 6237, more direct since not using the isomorphism predicate, but requiring ax-un 6576. (Contributed by NM, 4-Mar-1997.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oweALT.1	|- R = { <. x , y >. | ( F ` x ) S ( F ` y ) }

Assertion

Ref	Expression
f1oweALT	|- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( S We B -> R We A ) )

Distinct variable groups:   x, y, S   x, F, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   R( x, y)

Proof of Theorem f1oweALT

Dummy variables z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 5823	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B )
2		df-fo 5594	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F Fn A /\ ran F = B ) )
3		freq2 4850	. . . . . . 7 |- ( ran F = B -> ( S Fr ran F <-> S Fr B ) )
4	3	biimprd 223	. . . . . 6 |- ( ran F = B -> ( S Fr B -> S Fr ran F ) )
5		df-fn 5591	. . . . . . 7 |- ( F Fn A <-> ( Fun F /\ dom F = A ) )
6		df-fr 4838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( S Fr ran F <-> A. w ( ( w C_ ran F /\ w =/= (/) ) -> E. u e. w A. f e. w -. f S u ) )
7		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- z e. _V
8	7	funimaex 5666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Fun F -> ( F " z ) e. _V )
9		n0 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z =/= (/) <-> E. w w e. z )
10		funfvima2 6136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( w e. z -> ( F ` w ) e. ( F " z ) ) )
11		ne0i 3791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F ` w ) e. ( F " z ) -> ( F " z ) =/= (/) )
12	10, 11	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( w e. z -> ( F " z ) =/= (/) ) )
13	12	exlimdv 1700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( E. w w e. z -> ( F " z ) =/= (/) ) )
14	9, 13	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( z =/= (/) -> ( F " z ) =/= (/) ) )
15	14	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) /\ z =/= (/) ) -> ( F " z ) =/= (/) )
16		imassrn 5348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F " z ) C_ ran F
17	15, 16	jctil 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) /\ z =/= (/) ) -> ( ( F " z ) C_ ran F /\ ( F " z ) =/= (/) ) )
18		sseq1 3525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = ( F " z ) -> ( w C_ ran F <-> ( F " z ) C_ ran F ) )
19		neeq1 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = ( F " z ) -> ( w =/= (/) <-> ( F " z ) =/= (/) ) )
20	18, 19	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = ( F " z ) -> ( ( w C_ ran F /\ w =/= (/) ) <-> ( ( F " z ) C_ ran F /\ ( F " z ) =/= (/) ) ) )
21		raleq 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = ( F " z ) -> ( A. f e. w -. f S u <-> A. f e. ( F " z ) -. f S u ) )
22	21	rexeqbi1dv 3067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = ( F " z ) -> ( E. u e. w A. f e. w -. f S u <-> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) )
23	20, 22	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = ( F " z ) -> ( ( ( w C_ ran F /\ w =/= (/) ) -> E. u e. w A. f e. w -. f S u ) <-> ( ( ( F " z ) C_ ran F /\ ( F " z ) =/= (/) ) -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) ) )
24	23	spcgv 3198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F " z ) e. _V -> ( A. w ( ( w C_ ran F /\ w =/= (/) ) -> E. u e. w A. f e. w -. f S u ) -> ( ( ( F " z ) C_ ran F /\ ( F " z ) =/= (/) ) -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) ) )
25	17, 24	syl7 68	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F " z ) e. _V -> ( A. w ( ( w C_ ran F /\ w =/= (/) ) -> E. u e. w A. f e. w -. f S u ) -> ( ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) /\ z =/= (/) ) -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) ) )
26	8, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Fun F -> ( A. w ( ( w C_ ran F /\ w =/= (/) ) -> E. u e. w A. f e. w -. f S u ) -> ( ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) /\ z =/= (/) ) -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) ) )
27	6, 26	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Fun F -> ( S Fr ran F -> ( ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) /\ z =/= (/) ) -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) ) )
28	27	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Fun F -> ( ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) /\ z =/= (/) ) -> ( S Fr ran F -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) ) )
29	28	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Fun F -> ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( z =/= (/) -> ( S Fr ran F -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) ) ) )
30	29	anabsi5 815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( z =/= (/) -> ( S Fr ran F -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) ) )
31	30	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( ( z =/= (/) /\ S Fr ran F ) -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) )
32		fores 5804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( F |` z ) : z -onto-> ( F " z ) )
33		fvres 5880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v e. z -> ( ( F |` z ) ` v ) = ( F ` v ) )
34		fvres 5880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. z -> ( ( F |` z ) ` w ) = ( F ` w ) )
35	33, 34	breqan12rd 4463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( w e. z /\ v e. z ) -> ( ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) <-> ( F ` v ) S ( F ` w ) ) )
36		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- v e. _V
37		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- w e. _V
38		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = v -> ( F ` x ) = ( F ` v ) )
39	38	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = v -> ( ( F ` x ) S ( F ` y ) <-> ( F ` v ) S ( F ` y ) ) )
40		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = w -> ( F ` y ) = ( F ` w ) )
41	40	breq2d 4459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = w -> ( ( F ` v ) S ( F ` y ) <-> ( F ` v ) S ( F ` w ) ) )
42		f1oweALT.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- R = { <. x , y >. | ( F ` x ) S ( F ` y ) }
43	36, 37, 39, 41, 42	brab 4770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v R w <-> ( F ` v ) S ( F ` w ) )
44	35, 43	syl6rbbr 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( w e. z /\ v e. z ) -> ( v R w <-> ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) ) )
45	44	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w e. z /\ v e. z ) -> ( -. v R w <-> -. ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) ) )
46	45	ralbidva 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. z -> ( A. v e. z -. v R w <-> A. v e. z -. ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) ) )
47	46	rexbiia 2964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. w e. z A. v e. z -. v R w <-> E. w e. z A. v e. z -. ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) )
48		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F |` z ) ` v ) = f -> ( ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) <-> f S ( ( F |` z ) ` w ) ) )
49	48	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F |` z ) ` v ) = f -> ( -. ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) <-> -. f S ( ( F |` z ) ` w ) ) )
50	49	cbvfo 6180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F |` z ) : z -onto-> ( F " z ) -> ( A. v e. z -. ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) <-> A. f e. ( F " z ) -. f S ( ( F |` z ) ` w ) ) )
51	50	rexbidv 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F |` z ) : z -onto-> ( F " z ) -> ( E. w e. z A. v e. z -. ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) <-> E. w e. z A. f e. ( F " z ) -. f S ( ( F |` z ) ` w ) ) )
52		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F |` z ) ` w ) = u -> ( f S ( ( F |` z ) ` w ) <-> f S u ) )
53	52	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F |` z ) ` w ) = u -> ( -. f S ( ( F |` z ) ` w ) <-> -. f S u ) )
54	53	ralbidv 2903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F |` z ) ` w ) = u -> ( A. f e. ( F " z ) -. f S ( ( F |` z ) ` w ) <-> A. f e. ( F " z ) -. f S u ) )
55	54	cbvexfo 6181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F |` z ) : z -onto-> ( F " z ) -> ( E. w e. z A. f e. ( F " z ) -. f S ( ( F |` z ) ` w ) <-> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) )
56	51, 55	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F |` z ) : z -onto-> ( F " z ) -> ( E. w e. z A. v e. z -. ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) <-> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) )
57	47, 56	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F |` z ) : z -onto-> ( F " z ) -> ( E. w e. z A. v e. z -. v R w <-> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) )
58	32, 57	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( E. w e. z A. v e. z -. v R w <-> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) )
59	31, 58	sylibrd 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( ( z =/= (/) /\ S Fr ran F ) -> E. w e. z A. v e. z -. v R w ) )
60	59	exp4b 607	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun F -> ( z C_ dom F -> ( z =/= (/) -> ( S Fr ran F -> E. w e. z A. v e. z -. v R w ) ) ) )
61	60	com34 83	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun F -> ( z C_ dom F -> ( S Fr ran F -> ( z =/= (/) -> E. w e. z A. v e. z -. v R w ) ) ) )
62	61	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( S Fr ran F -> ( z C_ dom F -> ( z =/= (/) -> E. w e. z A. v e. z -. v R w ) ) ) )
63	62	imp4a 589	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( S Fr ran F -> ( ( z C_ dom F /\ z =/= (/) ) -> E. w e. z A. v e. z -. v R w ) ) )
64	63	alrimdv 1697	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( S Fr ran F -> A. z ( ( z C_ dom F /\ z =/= (/) ) -> E. w e. z A. v e. z -. v R w ) ) )
65		df-fr 4838	. . . . . . . . 9 |- ( R Fr dom F <-> A. z ( ( z C_ dom F /\ z =/= (/) ) -> E. w e. z A. v e. z -. v R w ) )
66	64, 65	syl6ibr 227	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> ( S Fr ran F -> R Fr dom F ) )
67		freq2 4850	. . . . . . . . 9 |- ( dom F = A -> ( R Fr dom F <-> R Fr A ) )
68	67	biimpd 207	. . . . . . . 8 |- ( dom F = A -> ( R Fr dom F -> R Fr A ) )
69	66, 68	sylan9 657	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ dom F = A ) -> ( S Fr ran F -> R Fr A ) )
70	5, 69	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( F Fn A -> ( S Fr ran F -> R Fr A ) )
71	4, 70	sylan9r 658	. . . . 5 |- ( ( F Fn A /\ ran F = B ) -> ( S Fr B -> R Fr A ) )
72	2, 71	sylbi 195	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ( S Fr B -> R Fr A ) )
73	1, 72	syl 16	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( S Fr B -> R Fr A ) )
74		df-f1o 5595	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-onto-> B <-> ( F : A -1-1-> B /\ F : A -onto-> B ) )
75		fveq2 5866	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
76	75	breq1d 4457	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) S ( F ` y ) <-> ( F ` w ) S ( F ` y ) ) )
77		fveq2 5866	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = v -> ( F ` y ) = ( F ` v ) )
78	77	breq2d 4459	. . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> ( ( F ` w ) S ( F ` y ) <-> ( F ` w ) S ( F ` v ) ) )
79	37, 36, 76, 78, 42	brab 4770	. . . . . . . . 9 |- ( w R v <-> ( F ` w ) S ( F ` v ) )
80	79	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( w e. A /\ v e. A ) ) -> ( w R v <-> ( F ` w ) S ( F ` v ) ) )
81		f1fveq 6158	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( w e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` w ) = ( F ` v ) <-> w = v ) )
82	81	bicomd 201	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( w e. A /\ v e. A ) ) -> ( w = v <-> ( F ` w ) = ( F ` v ) ) )
83	43	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( w e. A /\ v e. A ) ) -> ( v R w <-> ( F ` v ) S ( F ` w ) ) )
84	80, 82, 83	3orbi123d 1298	. . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( w e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( w R v \/ w = v \/ v R w ) <-> ( ( F ` w ) S ( F ` v ) \/ ( F ` w ) = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S ( F ` w ) ) ) )
85	84	2ralbidva 2906	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-> B -> ( A. w e. A A. v e. A ( w R v \/ w = v \/ v R w ) <-> A. w e. A A. v e. A ( ( F ` w ) S ( F ` v ) \/ ( F ` w ) = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S ( F ` w ) ) ) )
86		breq1 4450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` w ) = u -> ( ( F ` w ) S ( F ` v ) <-> u S ( F ` v ) ) )
87		eqeq1 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` w ) = u -> ( ( F ` w ) = ( F ` v ) <-> u = ( F ` v ) ) )
88		breq2 4451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` w ) = u -> ( ( F ` v ) S ( F ` w ) <-> ( F ` v ) S u ) )
89	86, 87, 88	3orbi123d 1298	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` w ) = u -> ( ( ( F ` w ) S ( F ` v ) \/ ( F ` w ) = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S ( F ` w ) ) <-> ( u S ( F ` v ) \/ u = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S u ) ) )
90	89	ralbidv 2903	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` w ) = u -> ( A. v e. A ( ( F ` w ) S ( F ` v ) \/ ( F ` w ) = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S ( F ` w ) ) <-> A. v e. A ( u S ( F ` v ) \/ u = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S u ) ) )
91	90	cbvfo 6180	. . . . . . 7 |- ( F : A -onto-> B -> ( A. w e. A A. v e. A ( ( F ` w ) S ( F ` v ) \/ ( F ` w ) = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S ( F ` w ) ) <-> A. u e. B A. v e. A ( u S ( F ` v ) \/ u = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S u ) ) )
92		breq2 4451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` v ) = f -> ( u S ( F ` v ) <-> u S f ) )
93		eqeq2 2482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` v ) = f -> ( u = ( F ` v ) <-> u = f ) )
94		breq1 4450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` v ) = f -> ( ( F ` v ) S u <-> f S u ) )
95	92, 93, 94	3orbi123d 1298	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` v ) = f -> ( ( u S ( F ` v ) \/ u = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S u ) <-> ( u S f \/ u = f \/ f S u ) ) )
96	95	cbvfo 6180	. . . . . . . 8 |- ( F : A -onto-> B -> ( A. v e. A ( u S ( F ` v ) \/ u = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S u ) <-> A. f e. B ( u S f \/ u = f \/ f S u ) ) )
97	96	ralbidv 2903	. . . . . . 7 |- ( F : A -onto-> B -> ( A. u e. B A. v e. A ( u S ( F ` v ) \/ u = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S u ) <-> A. u e. B A. f e. B ( u S f \/ u = f \/ f S u ) ) )
98	91, 97	bitrd 253	. . . . . 6 |- ( F : A -onto-> B -> ( A. w e. A A. v e. A ( ( F ` w ) S ( F ` v ) \/ ( F ` w ) = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S ( F ` w ) ) <-> A. u e. B A. f e. B ( u S f \/ u = f \/ f S u ) ) )
99	85, 98	sylan9bb 699	. . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ F : A -onto-> B ) -> ( A. w e. A A. v e. A ( w R v \/ w = v \/ v R w ) <-> A. u e. B A. f e. B ( u S f \/ u = f \/ f S u ) ) )
100	74, 99	sylbi 195	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( A. w e. A A. v e. A ( w R v \/ w = v \/ v R w ) <-> A. u e. B A. f e. B ( u S f \/ u = f \/ f S u ) ) )
101	100	biimprd 223	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( A. u e. B A. f e. B ( u S f \/ u = f \/ f S u ) -> A. w e. A A. v e. A ( w R v \/ w = v \/ v R w ) ) )
102	73, 101	anim12d 563	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( ( S Fr B /\ A. u e. B A. f e. B ( u S f \/ u = f \/ f S u ) ) -> ( R Fr A /\ A. w e. A A. v e. A ( w R v \/ w = v \/ v R w ) ) ) )
103		dfwe2 6601	. 2 |- ( S We B <-> ( S Fr B /\ A. u e. B A. f e. B ( u S f \/ u = f \/ f S u ) ) )
104		dfwe2 6601	. 2 |- ( R We A <-> ( R Fr A /\ A. w e. A A. v e. A ( w R v \/ w = v \/ v R w ) ) )
105	102, 103, 104	3imtr4g 270	1 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( S We B -> R We A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   \/ w3o 972   A.wal 1377   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   {copab 4504   Fr wfr 4835   We wwe 4837   dom cdm 4999   ran crn 5000   |` cres 5001   "cima 5002   Fun wfun 5582   Fn wfn 5583   -1-1->wf1 5585   -onto->wfo 5586   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596

This theorem is referenced by: (None)