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Theorem f1oweALT 6768
Description: Alternate proof of f1owe 6237, more direct since not using the isomorphism predicate, but requiring ax-un 6576. (Contributed by NM, 4-Mar-1997.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oweALT.1  |-  R  =  { <. x ,  y
>.  |  ( F `  x ) S ( F `  y ) }
Assertion
Ref Expression
f1oweALT  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( S  We  B  ->  R  We  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, S    x, F, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    R( x, y)

Proof of Theorem f1oweALT
Dummy variables  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofo 5823 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A -onto-> B )
2 df-fo 5594 . . . . 5  |-  ( F : A -onto-> B  <->  ( F  Fn  A  /\  ran  F  =  B ) )
3 freq2 4850 . . . . . . 7  |-  ( ran 
F  =  B  -> 
( S  Fr  ran  F  <-> 
S  Fr  B ) )
43biimprd 223 . . . . . 6  |-  ( ran 
F  =  B  -> 
( S  Fr  B  ->  S  Fr  ran  F
) )
5 df-fn 5591 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  <->  ( Fun  F  /\  dom  F  =  A ) )
6 df-fr 4838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S  Fr  ran  F  <->  A. w
( ( w  C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u ) )
7 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  z  e. 
_V
87funimaex 5666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Fun 
F  ->  ( F " z )  e.  _V )
9 n0 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  z )
10 funfvima2 6136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( w  e.  z  ->  ( F `  w )  e.  ( F " z ) ) )
11 ne0i 3791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  w )  e.  ( F "
z )  ->  ( F " z )  =/=  (/) )
1210, 11syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( w  e.  z  ->  ( F "
z )  =/=  (/) ) )
1312exlimdv 1700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( E. w  w  e.  z  ->  ( F " z )  =/=  (/) ) )
149, 13syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  ( F " z )  =/=  (/) ) )
1514imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Fun  F  /\  z  C_  dom  F )  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( F " z
)  =/=  (/) )
16 imassrn 5348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F
" z )  C_  ran  F
1715, 16jctil 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Fun  F  /\  z  C_  dom  F )  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( ( F "
z )  C_  ran  F  /\  ( F "
z )  =/=  (/) ) )
18 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  (
w  C_  ran  F  <->  ( F " z )  C_  ran  F ) )
19 neeq1 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  (
w  =/=  (/)  <->  ( F " z )  =/=  (/) ) )
2018, 19anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  (
( w  C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  <->  ( ( F " z )  C_  ran  F  /\  ( F
" z )  =/=  (/) ) ) )
21 raleq 3058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  ( A. f  e.  w  -.  f S u  <->  A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) )
2221rexeqbi1dv 3067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  ( E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u  <->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) )
2320, 22imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  (
( ( w  C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u )  <->  ( (
( F " z
)  C_  ran  F  /\  ( F " z )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) ) )
2423spcgv 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F " z )  e.  _V  ->  ( A. w ( ( w 
C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u )  -> 
( ( ( F
" z )  C_  ran  F  /\  ( F
" z )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) ) )
2517, 24syl7 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F " z )  e.  _V  ->  ( A. w ( ( w 
C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u )  -> 
( ( ( Fun 
F  /\  z  C_  dom  F )  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) ) )
268, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
F  ->  ( A. w ( ( w 
C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u )  -> 
( ( ( Fun 
F  /\  z  C_  dom  F )  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) ) )
276, 26syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Fun 
F  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  (
( ( Fun  F  /\  z  C_  dom  F
)  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) ) )
2827com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Fun 
F  ->  ( (
( Fun  F  /\  z  C_  dom  F )  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( S  Fr  ran  F  ->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) ) )
2928expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun 
F  ->  ( ( Fun  F  /\  z  C_  dom  F )  ->  (
z  =/=  (/)  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) ) ) )
3029anabsi5 815 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) ) )
3130impd 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( ( z  =/=  (/)  /\  S  Fr  ran  F )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) )
32 fores 5804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( F  |`  z
) : z -onto-> ( F " z ) )
33 fvres 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  z  ->  (
( F  |`  z
) `  v )  =  ( F `  v ) )
34 fvres 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  z  ->  (
( F  |`  z
) `  w )  =  ( F `  w ) )
3533, 34breqan12rd 4463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  e.  z  /\  v  e.  z )  ->  ( ( ( F  |`  z ) `  v
) S ( ( F  |`  z ) `  w )  <->  ( F `  v ) S ( F `  w ) ) )
36 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  v  e. 
_V
37 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  w  e. 
_V
38 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  v  ->  ( F `  x )  =  ( F `  v ) )
3938breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  v  ->  (
( F `  x
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  v ) S ( F `  y ) ) )
40 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
4140breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  v
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  v ) S ( F `  w ) ) )
42 f1oweALT.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  R  =  { <. x ,  y
>.  |  ( F `  x ) S ( F `  y ) }
4336, 37, 39, 41, 42brab 4770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v R w  <->  ( F `  v ) S ( F `  w ) )
4435, 43syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  z  /\  v  e.  z )  ->  ( v R w  <-> 
( ( F  |`  z ) `  v
) S ( ( F  |`  z ) `  w ) ) )
4544notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  z  /\  v  e.  z )  ->  ( -.  v R w  <->  -.  ( ( F  |`  z ) `  v ) S ( ( F  |`  z
) `  w )
) )
4645ralbidva 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  z  ->  ( A. v  e.  z  -.  v R w  <->  A. v  e.  z  -.  (
( F  |`  z
) `  v ) S ( ( F  |`  z ) `  w
) ) )
4746rexbiia 2964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w  <->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  (
( F  |`  z
) `  v ) S ( ( F  |`  z ) `  w
) )
48 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  |`  z
) `  v )  =  f  ->  ( ( ( F  |`  z
) `  v ) S ( ( F  |`  z ) `  w
)  <->  f S ( ( F  |`  z
) `  w )
) )
4948notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  |`  z
) `  v )  =  f  ->  ( -.  ( ( F  |`  z ) `  v
) S ( ( F  |`  z ) `  w )  <->  -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w
) ) )
5049cbvfo 6180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  |`  z ) : z -onto-> ( F
" z )  -> 
( A. v  e.  z  -.  ( ( F  |`  z ) `  v ) S ( ( F  |`  z
) `  w )  <->  A. f  e.  ( F
" z )  -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w ) ) )
5150rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  |`  z ) : z -onto-> ( F
" z )  -> 
( E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  ( ( F  |`  z ) `  v ) S ( ( F  |`  z
) `  w )  <->  E. w  e.  z  A. f  e.  ( F " z )  -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w
) ) )
52 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  |`  z
) `  w )  =  u  ->  ( f S ( ( F  |`  z ) `  w
)  <->  f S u ) )
5352notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  |`  z
) `  w )  =  u  ->  ( -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w )  <->  -.  f S u ) )
5453ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  |`  z
) `  w )  =  u  ->  ( A. f  e.  ( F " z )  -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w
)  <->  A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) )
5554cbvexfo 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  |`  z ) : z -onto-> ( F
" z )  -> 
( E. w  e.  z  A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w
)  <->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) )
5651, 55bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  |`  z ) : z -onto-> ( F
" z )  -> 
( E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  ( ( F  |`  z ) `  v ) S ( ( F  |`  z
) `  w )  <->  E. u  e.  ( F
" z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) )
5747, 56syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  |`  z ) : z -onto-> ( F
" z )  -> 
( E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w  <->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) )
5832, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w  <->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) )
5931, 58sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( ( z  =/=  (/)  /\  S  Fr  ran  F )  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) )
6059exp4b 607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  C_ 
dom  F  ->  ( z  =/=  (/)  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) ) ) )
6160com34 83 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  C_ 
dom  F  ->  ( S  Fr  ran  F  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) ) ) )
6261com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  (
z  C_  dom  F  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) ) ) )
6362imp4a 589 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  (
( z  C_  dom  F  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) ) )
6463alrimdv 1697 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  A. z
( ( z  C_  dom  F  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) ) )
65 df-fr 4838 . . . . . . . . 9  |-  ( R  Fr  dom  F  <->  A. z
( ( z  C_  dom  F  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) )
6664, 65syl6ibr 227 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  R  Fr  dom  F ) )
67 freq2 4850 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
F  =  A  -> 
( R  Fr  dom  F  <-> 
R  Fr  A ) )
6867biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
F  =  A  -> 
( R  Fr  dom  F  ->  R  Fr  A
) )
6966, 68sylan9 657 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  A )  -> 
( S  Fr  ran  F  ->  R  Fr  A
) )
705, 69sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  R  Fr  A )
)
714, 70sylan9r 658 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ran  F  =  B )  ->  ( S  Fr  B  ->  R  Fr  A
) )
722, 71sylbi 195 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( S  Fr  B  ->  R  Fr  A ) )
731, 72syl 16 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( S  Fr  B  ->  R  Fr  A ) )
74 df-f1o 5595 . . . . 5  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  <->  ( F : A -1-1-> B  /\  F : A -onto-> B ) )
75 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
7675breq1d 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  w ) S ( F `  y ) ) )
77 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  v  ->  ( F `  y )  =  ( F `  v ) )
7877breq2d 4459 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  (
( F `  w
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  w ) S ( F `  v ) ) )
7937, 36, 76, 78, 42brab 4770 . . . . . . . . 9  |-  ( w R v  <->  ( F `  w ) S ( F `  v ) )
8079a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
w R v  <->  ( F `  w ) S ( F `  v ) ) )
81 f1fveq 6158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
( F `  w
)  =  ( F `
 v )  <->  w  =  v ) )
8281bicomd 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
w  =  v  <->  ( F `  w )  =  ( F `  v ) ) )
8343a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
v R w  <->  ( F `  v ) S ( F `  w ) ) )
8480, 82, 833orbi123d 1298 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
( w R v  \/  w  =  v  \/  v R w )  <->  ( ( F `
 w ) S ( F `  v
)  \/  ( F `
 w )  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S ( F `  w
) ) ) )
85842ralbidva 2906 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( w R v  \/  w  =  v  \/  v R w )  <->  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( ( F `  w ) S ( F `  v )  \/  ( F `  w )  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S ( F `  w ) ) ) )
86 breq1 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  =  u  ->  (
( F `  w
) S ( F `
 v )  <->  u S
( F `  v
) ) )
87 eqeq1 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  =  u  ->  (
( F `  w
)  =  ( F `
 v )  <->  u  =  ( F `  v ) ) )
88 breq2 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  =  u  ->  (
( F `  v
) S ( F `
 w )  <->  ( F `  v ) S u ) )
8986, 87, 883orbi123d 1298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  w )  =  u  ->  (
( ( F `  w ) S ( F `  v )  \/  ( F `  w )  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S ( F `  w ) )  <->  ( u S ( F `  v
)  \/  u  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S u ) ) )
9089ralbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  w )  =  u  ->  ( A. v  e.  A  ( ( F `  w ) S ( F `  v )  \/  ( F `  w )  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S ( F `  w ) )  <->  A. v  e.  A  ( u S ( F `  v )  \/  u  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S u ) ) )
9190cbvfo 6180 . . . . . . 7  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( ( F `
 w ) S ( F `  v
)  \/  ( F `
 w )  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S ( F `  w
) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  A  ( u S ( F `  v )  \/  u  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S u ) ) )
92 breq2 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  v )  =  f  ->  (
u S ( F `
 v )  <->  u S
f ) )
93 eqeq2 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  v )  =  f  ->  (
u  =  ( F `
 v )  <->  u  =  f ) )
94 breq1 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  v )  =  f  ->  (
( F `  v
) S u  <->  f S u ) )
9592, 93, 943orbi123d 1298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  v )  =  f  ->  (
( u S ( F `  v )  \/  u  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S u )  <->  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
9695cbvfo 6180 . . . . . . . 8  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A. v  e.  A  ( u S ( F `  v
)  \/  u  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S u )  <->  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
9796ralbidv 2903 . . . . . . 7  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A. u  e.  B  A. v  e.  A  ( u S ( F `  v
)  \/  u  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S u )  <->  A. u  e.  B  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
9891, 97bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( ( F `
 w ) S ( F `  v
)  \/  ( F `
 w )  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S ( F `  w
) )  <->  A. u  e.  B  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
9985, 98sylan9bb 699 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  F : A -onto-> B
)  ->  ( A. w  e.  A  A. v  e.  A  (
w R v  \/  w  =  v  \/  v R w )  <->  A. u  e.  B  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
10074, 99sylbi 195 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( A. w  e.  A  A. v  e.  A  (
w R v  \/  w  =  v  \/  v R w )  <->  A. u  e.  B  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
101100biimprd 223 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( A. u  e.  B  A. f  e.  B  (
u S f  \/  u  =  f  \/  f S u )  ->  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( w R v  \/  w  =  v  \/  v R w ) ) )
10273, 101anim12d 563 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( ( S  Fr  B  /\  A. u  e.  B  A. f  e.  B  (
u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) )  ->  ( R  Fr  A  /\  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( w R v  \/  w  =  v  \/  v R w ) ) ) )
103 dfwe2 6601 . 2  |-  ( S  We  B  <->  ( S  Fr  B  /\  A. u  e.  B  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
104 dfwe2 6601 . 2  |-  ( R  We  A  <->  ( R  Fr  A  /\  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( w R v  \/  w  =  v  \/  v R w ) ) )
105102, 103, 1043imtr4g 270 1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( S  We  B  ->  R  We  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   {copab 4504    Fr wfr 4835    We wwe 4837   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   -1-1->wf1 5585   -onto->wfo 5586   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596
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