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Theorem f1oweALT 6683
Description: Alternate proof of f1owe 6150, more direct since not using the isomorphism predicate, but requiring ax-un 6491. (Contributed by NM, 4-Mar-1997.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oweALT.1  |-  R  =  { <. x ,  y
>.  |  ( F `  x ) S ( F `  y ) }
Assertion
Ref Expression
f1oweALT  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( S  We  B  ->  R  We  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, S    x, F, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    R( x, y)

Proof of Theorem f1oweALT
Dummy variables  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofo 5731 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A -onto-> B )
2 df-fo 5502 . . . . 5  |-  ( F : A -onto-> B  <->  ( F  Fn  A  /\  ran  F  =  B ) )
3 freq2 4764 . . . . . . 7  |-  ( ran 
F  =  B  -> 
( S  Fr  ran  F  <-> 
S  Fr  B ) )
43biimprd 223 . . . . . 6  |-  ( ran 
F  =  B  -> 
( S  Fr  B  ->  S  Fr  ran  F
) )
5 df-fn 5499 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  <->  ( Fun  F  /\  dom  F  =  A ) )
6 df-fr 4752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S  Fr  ran  F  <->  A. w
( ( w  C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u ) )
7 vex 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  z  e. 
_V
87funimaex 5574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Fun 
F  ->  ( F " z )  e.  _V )
9 n0 3721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  z )
10 funfvima2 6049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( w  e.  z  ->  ( F `  w )  e.  ( F " z ) ) )
11 ne0i 3717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  w )  e.  ( F "
z )  ->  ( F " z )  =/=  (/) )
1210, 11syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( w  e.  z  ->  ( F "
z )  =/=  (/) ) )
1312exlimdv 1732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( E. w  w  e.  z  ->  ( F " z )  =/=  (/) ) )
149, 13syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  ( F " z )  =/=  (/) ) )
1514imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Fun  F  /\  z  C_  dom  F )  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( F " z
)  =/=  (/) )
16 imassrn 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F
" z )  C_  ran  F
1715, 16jctil 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Fun  F  /\  z  C_  dom  F )  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( ( F "
z )  C_  ran  F  /\  ( F "
z )  =/=  (/) ) )
18 sseq1 3438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  (
w  C_  ran  F  <->  ( F " z )  C_  ran  F ) )
19 neeq1 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  (
w  =/=  (/)  <->  ( F " z )  =/=  (/) ) )
2018, 19anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  (
( w  C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  <->  ( ( F " z )  C_  ran  F  /\  ( F
" z )  =/=  (/) ) ) )
21 raleq 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  ( A. f  e.  w  -.  f S u  <->  A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) )
2221rexeqbi1dv 2988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  ( E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u  <->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) )
2320, 22imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  (
( ( w  C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u )  <->  ( (
( F " z
)  C_  ran  F  /\  ( F " z )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) ) )
2423spcgv 3119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F " z )  e.  _V  ->  ( A. w ( ( w 
C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u )  -> 
( ( ( F
" z )  C_  ran  F  /\  ( F
" z )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) ) )
2517, 24syl7 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F " z )  e.  _V  ->  ( A. w ( ( w 
C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u )  -> 
( ( ( Fun 
F  /\  z  C_  dom  F )  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) ) )
268, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
F  ->  ( A. w ( ( w 
C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u )  -> 
( ( ( Fun 
F  /\  z  C_  dom  F )  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) ) )
276, 26syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Fun 
F  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  (
( ( Fun  F  /\  z  C_  dom  F
)  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) ) )
2827com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Fun 
F  ->  ( (
( Fun  F  /\  z  C_  dom  F )  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( S  Fr  ran  F  ->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) ) )
2928expd 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun 
F  ->  ( ( Fun  F  /\  z  C_  dom  F )  ->  (
z  =/=  (/)  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) ) ) )
3029anabsi5 815 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) ) )
3130impd 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( ( z  =/=  (/)  /\  S  Fr  ran  F )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) )
32 fores 5712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( F  |`  z
) : z -onto-> ( F " z ) )
33 fvres 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  z  ->  (
( F  |`  z
) `  v )  =  ( F `  v ) )
34 fvres 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  z  ->  (
( F  |`  z
) `  w )  =  ( F `  w ) )
3533, 34breqan12rd 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  e.  z  /\  v  e.  z )  ->  ( ( ( F  |`  z ) `  v
) S ( ( F  |`  z ) `  w )  <->  ( F `  v ) S ( F `  w ) ) )
36 vex 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  v  e. 
_V
37 vex 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  w  e. 
_V
38 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  v  ->  ( F `  x )  =  ( F `  v ) )
3938breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  v  ->  (
( F `  x
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  v ) S ( F `  y ) ) )
40 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
4140breq2d 4379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  v
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  v ) S ( F `  w ) ) )
42 f1oweALT.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  R  =  { <. x ,  y
>.  |  ( F `  x ) S ( F `  y ) }
4336, 37, 39, 41, 42brab 4684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v R w  <->  ( F `  v ) S ( F `  w ) )
4435, 43syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  z  /\  v  e.  z )  ->  ( v R w  <-> 
( ( F  |`  z ) `  v
) S ( ( F  |`  z ) `  w ) ) )
4544notbid 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  z  /\  v  e.  z )  ->  ( -.  v R w  <->  -.  ( ( F  |`  z ) `  v ) S ( ( F  |`  z
) `  w )
) )
4645ralbidva 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  z  ->  ( A. v  e.  z  -.  v R w  <->  A. v  e.  z  -.  (
( F  |`  z
) `  v ) S ( ( F  |`  z ) `  w
) ) )
4746rexbiia 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w  <->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  (
( F  |`  z
) `  v ) S ( ( F  |`  z ) `  w
) )
48 breq1 4370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  |`  z
) `  v )  =  f  ->  ( ( ( F  |`  z
) `  v ) S ( ( F  |`  z ) `  w
)  <->  f S ( ( F  |`  z
) `  w )
) )
4948notbid 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  |`  z
) `  v )  =  f  ->  ( -.  ( ( F  |`  z ) `  v
) S ( ( F  |`  z ) `  w )  <->  -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w
) ) )
5049cbvfo 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  |`  z ) : z -onto-> ( F
" z )  -> 
( A. v  e.  z  -.  ( ( F  |`  z ) `  v ) S ( ( F  |`  z
) `  w )  <->  A. f  e.  ( F
" z )  -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w ) ) )
5150rexbidv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  |`  z ) : z -onto-> ( F
" z )  -> 
( E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  ( ( F  |`  z ) `  v ) S ( ( F  |`  z
) `  w )  <->  E. w  e.  z  A. f  e.  ( F " z )  -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w
) ) )
52 breq2 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  |`  z
) `  w )  =  u  ->  ( f S ( ( F  |`  z ) `  w
)  <->  f S u ) )
5352notbid 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  |`  z
) `  w )  =  u  ->  ( -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w )  <->  -.  f S u ) )
5453ralbidv 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  |`  z
) `  w )  =  u  ->  ( A. f  e.  ( F " z )  -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w
)  <->  A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) )
5554cbvexfo 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  |`  z ) : z -onto-> ( F
" z )  -> 
( E. w  e.  z  A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w
)  <->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) )
5651, 55bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  |`  z ) : z -onto-> ( F
" z )  -> 
( E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  ( ( F  |`  z ) `  v ) S ( ( F  |`  z
) `  w )  <->  E. u  e.  ( F
" z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) )
5747, 56syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  |`  z ) : z -onto-> ( F
" z )  -> 
( E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w  <->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) )
5832, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w  <->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) )
5931, 58sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( ( z  =/=  (/)  /\  S  Fr  ran  F )  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) )
6059exp4b 605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  C_ 
dom  F  ->  ( z  =/=  (/)  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) ) ) )
6160com34 83 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  C_ 
dom  F  ->  ( S  Fr  ran  F  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) ) ) )
6261com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  (
z  C_  dom  F  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) ) ) )
6362imp4a 587 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  (
( z  C_  dom  F  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) ) )
6463alrimdv 1729 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  A. z
( ( z  C_  dom  F  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) ) )
65 df-fr 4752 . . . . . . . . 9  |-  ( R  Fr  dom  F  <->  A. z
( ( z  C_  dom  F  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) )
6664, 65syl6ibr 227 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  R  Fr  dom  F ) )
67 freq2 4764 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
F  =  A  -> 
( R  Fr  dom  F  <-> 
R  Fr  A ) )
6867biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
F  =  A  -> 
( R  Fr  dom  F  ->  R  Fr  A
) )
6966, 68sylan9 655 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  A )  -> 
( S  Fr  ran  F  ->  R  Fr  A
) )
705, 69sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  R  Fr  A )
)
714, 70sylan9r 656 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ran  F  =  B )  ->  ( S  Fr  B  ->  R  Fr  A
) )
722, 71sylbi 195 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( S  Fr  B  ->  R  Fr  A ) )
731, 72syl 16 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( S  Fr  B  ->  R  Fr  A ) )
74 df-f1o 5503 . . . . 5  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  <->  ( F : A -1-1-> B  /\  F : A -onto-> B ) )
75 fveq2 5774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
7675breq1d 4377 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  w ) S ( F `  y ) ) )
77 fveq2 5774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  v  ->  ( F `  y )  =  ( F `  v ) )
7877breq2d 4379 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  (
( F `  w
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  w ) S ( F `  v ) ) )
7937, 36, 76, 78, 42brab 4684 . . . . . . . . 9  |-  ( w R v  <->  ( F `  w ) S ( F `  v ) )
8079a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
w R v  <->  ( F `  w ) S ( F `  v ) ) )
81 f1fveq 6071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
( F `  w
)  =  ( F `
 v )  <->  w  =  v ) )
8281bicomd 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
w  =  v  <->  ( F `  w )  =  ( F `  v ) ) )
8343a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
v R w  <->  ( F `  v ) S ( F `  w ) ) )
8480, 82, 833orbi123d 1296 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
( w R v  \/  w  =  v  \/  v R w )  <->  ( ( F `
 w ) S ( F `  v
)  \/  ( F `
 w )  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S ( F `  w
) ) ) )
85842ralbidva 2824 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( w R v  \/  w  =  v  \/  v R w )  <->  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( ( F `  w ) S ( F `  v )  \/  ( F `  w )  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S ( F `  w ) ) ) )
86 breq1 4370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  =  u  ->  (
( F `  w
) S ( F `
 v )  <->  u S
( F `  v
) ) )
87 eqeq1 2386 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  =  u  ->  (
( F `  w
)  =  ( F `
 v )  <->  u  =  ( F `  v ) ) )
88 breq2 4371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  =  u  ->  (
( F `  v
) S ( F `
 w )  <->  ( F `  v ) S u ) )
8986, 87, 883orbi123d 1296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  w )  =  u  ->  (
( ( F `  w ) S ( F `  v )  \/  ( F `  w )  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S ( F `  w ) )  <->  ( u S ( F `  v
)  \/  u  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S u ) ) )
9089ralbidv 2821 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  w )  =  u  ->  ( A. v  e.  A  ( ( F `  w ) S ( F `  v )  \/  ( F `  w )  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S ( F `  w ) )  <->  A. v  e.  A  ( u S ( F `  v )  \/  u  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S u ) ) )
9190cbvfo 6093 . . . . . . 7  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( ( F `
 w ) S ( F `  v
)  \/  ( F `
 w )  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S ( F `  w
) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  A  ( u S ( F `  v )  \/  u  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S u ) ) )
92 breq2 4371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  v )  =  f  ->  (
u S ( F `
 v )  <->  u S
f ) )
93 eqeq2 2397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  v )  =  f  ->  (
u  =  ( F `
 v )  <->  u  =  f ) )
94 breq1 4370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  v )  =  f  ->  (
( F `  v
) S u  <->  f S u ) )
9592, 93, 943orbi123d 1296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  v )  =  f  ->  (
( u S ( F `  v )  \/  u  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S u )  <->  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
9695cbvfo 6093 . . . . . . . 8  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A. v  e.  A  ( u S ( F `  v
)  \/  u  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S u )  <->  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
9796ralbidv 2821 . . . . . . 7  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A. u  e.  B  A. v  e.  A  ( u S ( F `  v
)  \/  u  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S u )  <->  A. u  e.  B  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
9891, 97bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( ( F `
 w ) S ( F `  v
)  \/  ( F `
 w )  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S ( F `  w
) )  <->  A. u  e.  B  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
9985, 98sylan9bb 697 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  F : A -onto-> B
)  ->  ( A. w  e.  A  A. v  e.  A  (
w R v  \/  w  =  v  \/  v R w )  <->  A. u  e.  B  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
10074, 99sylbi 195 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( A. w  e.  A  A. v  e.  A  (
w R v  \/  w  =  v  \/  v R w )  <->  A. u  e.  B  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
101100biimprd 223 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( A. u  e.  B  A. f  e.  B  (
u S f  \/  u  =  f  \/  f S u )  ->  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( w R v  \/  w  =  v  \/  v R w ) ) )
10273, 101anim12d 561 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( ( S  Fr  B  /\  A. u  e.  B  A. f  e.  B  (
u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) )  ->  ( R  Fr  A  /\  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( w R v  \/  w  =  v  \/  v R w ) ) ) )
103 dfwe2 6516 . 2  |-  ( S  We  B  <->  ( S  Fr  B  /\  A. u  e.  B  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
104 dfwe2 6516 . 2  |-  ( R  We  A  <->  ( R  Fr  A  /\  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( w R v  \/  w  =  v  \/  v R w ) ) )
105102, 103, 1043imtr4g 270 1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( S  We  B  ->  R  We  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    \/ w3o 970   A.wal 1397    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   (/)c0 3711   class class class wbr 4367   {copab 4424    Fr wfr 4749    We wwe 4751   dom cdm 4913   ran crn 4914    |` cres 4915   "cima 4916   Fun wfun 5490    Fn wfn 5491   -1-1->wf1 5493   -onto->wfo 5494   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504
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