Theorem f1oweALT 6803

Description: Alternate proof of f1owe 6268, more direct since not using the isomorphism predicate, but requiring ax-un 6609. (Contributed by NM, 4-Mar-1997.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oweALT.1	|- R = { <. x , y >. | ( F ` x ) S ( F ` y ) }

Assertion

Ref	Expression
f1oweALT	|- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( S We B -> R We A ) )

Distinct variable groups:   x, y, S   x, F, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   R( x, y)

Proof of Theorem f1oweALT

Dummy variables z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 5843	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B )
2		df-fo 5606	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F Fn A /\ ran F = B ) )
3		freq2 4823	. . . . . . 7 |- ( ran F = B -> ( S Fr ran F <-> S Fr B ) )
4	3	biimprd 231	. . . . . 6 |- ( ran F = B -> ( S Fr B -> S Fr ran F ) )
5		df-fn 5603	. . . . . . 7 |- ( F Fn A <-> ( Fun F /\ dom F = A ) )
6		df-fr 4811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( S Fr ran F <-> A. w ( ( w C_ ran F /\ w =/= (/) ) -> E. u e. w A. f e. w -. f S u ) )
7		vex 3059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- z e. _V
8	7	funimaex 5682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Fun F -> ( F " z ) e. _V )
9		n0 3752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z =/= (/) <-> E. w w e. z )
10		funfvima2 6165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( w e. z -> ( F ` w ) e. ( F " z ) ) )
11		ne0i 3748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F ` w ) e. ( F " z ) -> ( F " z ) =/= (/) )
12	10, 11	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( w e. z -> ( F " z ) =/= (/) ) )
13	12	exlimdv 1789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( E. w w e. z -> ( F " z ) =/= (/) ) )
14	9, 13	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( z =/= (/) -> ( F " z ) =/= (/) ) )
15	14	imp 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) /\ z =/= (/) ) -> ( F " z ) =/= (/) )
16		imassrn 5197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F " z ) C_ ran F
17	15, 16	jctil 544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) /\ z =/= (/) ) -> ( ( F " z ) C_ ran F /\ ( F " z ) =/= (/) ) )
18		sseq1 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = ( F " z ) -> ( w C_ ran F <-> ( F " z ) C_ ran F ) )
19		neeq1 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = ( F " z ) -> ( w =/= (/) <-> ( F " z ) =/= (/) ) )
20	18, 19	anbi12d 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = ( F " z ) -> ( ( w C_ ran F /\ w =/= (/) ) <-> ( ( F " z ) C_ ran F /\ ( F " z ) =/= (/) ) ) )
21		raleq 2998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = ( F " z ) -> ( A. f e. w -. f S u <-> A. f e. ( F " z ) -. f S u ) )
22	21	rexeqbi1dv 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = ( F " z ) -> ( E. u e. w A. f e. w -. f S u <-> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) )
23	20, 22	imbi12d 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = ( F " z ) -> ( ( ( w C_ ran F /\ w =/= (/) ) -> E. u e. w A. f e. w -. f S u ) <-> ( ( ( F " z ) C_ ran F /\ ( F " z ) =/= (/) ) -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) ) )
24	23	spcgv 3145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F " z ) e. _V -> ( A. w ( ( w C_ ran F /\ w =/= (/) ) -> E. u e. w A. f e. w -. f S u ) -> ( ( ( F " z ) C_ ran F /\ ( F " z ) =/= (/) ) -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) ) )
25	17, 24	syl7 70	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F " z ) e. _V -> ( A. w ( ( w C_ ran F /\ w =/= (/) ) -> E. u e. w A. f e. w -. f S u ) -> ( ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) /\ z =/= (/) ) -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) ) )
26	8, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Fun F -> ( A. w ( ( w C_ ran F /\ w =/= (/) ) -> E. u e. w A. f e. w -. f S u ) -> ( ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) /\ z =/= (/) ) -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) ) )
27	6, 26	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Fun F -> ( S Fr ran F -> ( ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) /\ z =/= (/) ) -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) ) )
28	27	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Fun F -> ( ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) /\ z =/= (/) ) -> ( S Fr ran F -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) ) )
29	28	expd 442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Fun F -> ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( z =/= (/) -> ( S Fr ran F -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) ) ) )
30	29	anabsi5 831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( z =/= (/) -> ( S Fr ran F -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) ) )
31	30	impd 437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( ( z =/= (/) /\ S Fr ran F ) -> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) )
32		fores 5824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( F |` z ) : z -onto-> ( F " z ) )
33		fvres 5901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v e. z -> ( ( F |` z ) ` v ) = ( F ` v ) )
34		fvres 5901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. z -> ( ( F |` z ) ` w ) = ( F ` w ) )
35	33, 34	breqan12rd 4432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( w e. z /\ v e. z ) -> ( ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) <-> ( F ` v ) S ( F ` w ) ) )
36		vex 3059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- v e. _V
37		vex 3059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- w e. _V
38		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = v -> ( F ` x ) = ( F ` v ) )
39	38	breq1d 4425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = v -> ( ( F ` x ) S ( F ` y ) <-> ( F ` v ) S ( F ` y ) ) )
40		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = w -> ( F ` y ) = ( F ` w ) )
41	40	breq2d 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = w -> ( ( F ` v ) S ( F ` y ) <-> ( F ` v ) S ( F ` w ) ) )
42		f1oweALT.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- R = { <. x , y >. | ( F ` x ) S ( F ` y ) }
43	36, 37, 39, 41, 42	brab 4737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v R w <-> ( F ` v ) S ( F ` w ) )
44	35, 43	syl6rbbr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( w e. z /\ v e. z ) -> ( v R w <-> ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) ) )
45	44	notbid 300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w e. z /\ v e. z ) -> ( -. v R w <-> -. ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) ) )
46	45	ralbidva 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. z -> ( A. v e. z -. v R w <-> A. v e. z -. ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) ) )
47	46	rexbiia 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. w e. z A. v e. z -. v R w <-> E. w e. z A. v e. z -. ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) )
48		breq1 4418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F |` z ) ` v ) = f -> ( ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) <-> f S ( ( F |` z ) ` w ) ) )
49	48	notbid 300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F |` z ) ` v ) = f -> ( -. ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) <-> -. f S ( ( F |` z ) ` w ) ) )
50	49	cbvfo 6211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F |` z ) : z -onto-> ( F " z ) -> ( A. v e. z -. ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) <-> A. f e. ( F " z ) -. f S ( ( F |` z ) ` w ) ) )
51	50	rexbidv 2912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F |` z ) : z -onto-> ( F " z ) -> ( E. w e. z A. v e. z -. ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) <-> E. w e. z A. f e. ( F " z ) -. f S ( ( F |` z ) ` w ) ) )
52		breq2 4419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F |` z ) ` w ) = u -> ( f S ( ( F |` z ) ` w ) <-> f S u ) )
53	52	notbid 300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F |` z ) ` w ) = u -> ( -. f S ( ( F |` z ) ` w ) <-> -. f S u ) )
54	53	ralbidv 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F |` z ) ` w ) = u -> ( A. f e. ( F " z ) -. f S ( ( F |` z ) ` w ) <-> A. f e. ( F " z ) -. f S u ) )
55	54	cbvexfo 6212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F |` z ) : z -onto-> ( F " z ) -> ( E. w e. z A. f e. ( F " z ) -. f S ( ( F |` z ) ` w ) <-> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) )
56	51, 55	bitrd 261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F |` z ) : z -onto-> ( F " z ) -> ( E. w e. z A. v e. z -. ( ( F |` z ) ` v ) S ( ( F |` z ) ` w ) <-> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) )
57	47, 56	syl5bb 265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F |` z ) : z -onto-> ( F " z ) -> ( E. w e. z A. v e. z -. v R w <-> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) )
58	32, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( E. w e. z A. v e. z -. v R w <-> E. u e. ( F " z ) A. f e. ( F " z ) -. f S u ) )
59	31, 58	sylibrd 242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun F /\ z C_ dom F ) -> ( ( z =/= (/) /\ S Fr ran F ) -> E. w e. z A. v e. z -. v R w ) )
60	59	exp4b 616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun F -> ( z C_ dom F -> ( z =/= (/) -> ( S Fr ran F -> E. w e. z A. v e. z -. v R w ) ) ) )
61	60	com34 86	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun F -> ( z C_ dom F -> ( S Fr ran F -> ( z =/= (/) -> E. w e. z A. v e. z -. v R w ) ) ) )
62	61	com23 81	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( S Fr ran F -> ( z C_ dom F -> ( z =/= (/) -> E. w e. z A. v e. z -. v R w ) ) ) )
63	62	imp4a 598	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( S Fr ran F -> ( ( z C_ dom F /\ z =/= (/) ) -> E. w e. z A. v e. z -. v R w ) ) )
64	63	alrimdv 1785	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( S Fr ran F -> A. z ( ( z C_ dom F /\ z =/= (/) ) -> E. w e. z A. v e. z -. v R w ) ) )
65		df-fr 4811	. . . . . . . . 9 |- ( R Fr dom F <-> A. z ( ( z C_ dom F /\ z =/= (/) ) -> E. w e. z A. v e. z -. v R w ) )
66	64, 65	syl6ibr 235	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> ( S Fr ran F -> R Fr dom F ) )
67		freq2 4823	. . . . . . . . 9 |- ( dom F = A -> ( R Fr dom F <-> R Fr A ) )
68	67	biimpd 212	. . . . . . . 8 |- ( dom F = A -> ( R Fr dom F -> R Fr A ) )
69	66, 68	sylan9 667	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ dom F = A ) -> ( S Fr ran F -> R Fr A ) )
70	5, 69	sylbi 200	. . . . . 6 |- ( F Fn A -> ( S Fr ran F -> R Fr A ) )
71	4, 70	sylan9r 668	. . . . 5 |- ( ( F Fn A /\ ran F = B ) -> ( S Fr B -> R Fr A ) )
72	2, 71	sylbi 200	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ( S Fr B -> R Fr A ) )
73	1, 72	syl 17	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( S Fr B -> R Fr A ) )
74		df-f1o 5607	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-onto-> B <-> ( F : A -1-1-> B /\ F : A -onto-> B ) )
75		fveq2 5887	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
76	75	breq1d 4425	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) S ( F ` y ) <-> ( F ` w ) S ( F ` y ) ) )
77		fveq2 5887	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = v -> ( F ` y ) = ( F ` v ) )
78	77	breq2d 4427	. . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> ( ( F ` w ) S ( F ` y ) <-> ( F ` w ) S ( F ` v ) ) )
79	37, 36, 76, 78, 42	brab 4737	. . . . . . . . 9 |- ( w R v <-> ( F ` w ) S ( F ` v ) )
80	79	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( w e. A /\ v e. A ) ) -> ( w R v <-> ( F ` w ) S ( F ` v ) ) )
81		f1fveq 6187	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( w e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( F ` w ) = ( F ` v ) <-> w = v ) )
82	81	bicomd 206	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( w e. A /\ v e. A ) ) -> ( w = v <-> ( F ` w ) = ( F ` v ) ) )
83	43	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( w e. A /\ v e. A ) ) -> ( v R w <-> ( F ` v ) S ( F ` w ) ) )
84	80, 82, 83	3orbi123d 1347	. . . . . . 7 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( w e. A /\ v e. A ) ) -> ( ( w R v \/ w = v \/ v R w ) <-> ( ( F ` w ) S ( F ` v ) \/ ( F ` w ) = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S ( F ` w ) ) ) )
85	84	2ralbidva 2841	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-> B -> ( A. w e. A A. v e. A ( w R v \/ w = v \/ v R w ) <-> A. w e. A A. v e. A ( ( F ` w ) S ( F ` v ) \/ ( F ` w ) = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S ( F ` w ) ) ) )
86		breq1 4418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` w ) = u -> ( ( F ` w ) S ( F ` v ) <-> u S ( F ` v ) ) )
87		eqeq1 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` w ) = u -> ( ( F ` w ) = ( F ` v ) <-> u = ( F ` v ) ) )
88		breq2 4419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` w ) = u -> ( ( F ` v ) S ( F ` w ) <-> ( F ` v ) S u ) )
89	86, 87, 88	3orbi123d 1347	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` w ) = u -> ( ( ( F ` w ) S ( F ` v ) \/ ( F ` w ) = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S ( F ` w ) ) <-> ( u S ( F ` v ) \/ u = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S u ) ) )
90	89	ralbidv 2838	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` w ) = u -> ( A. v e. A ( ( F ` w ) S ( F ` v ) \/ ( F ` w ) = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S ( F ` w ) ) <-> A. v e. A ( u S ( F ` v ) \/ u = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S u ) ) )
91	90	cbvfo 6211	. . . . . . 7 |- ( F : A -onto-> B -> ( A. w e. A A. v e. A ( ( F ` w ) S ( F ` v ) \/ ( F ` w ) = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S ( F ` w ) ) <-> A. u e. B A. v e. A ( u S ( F ` v ) \/ u = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S u ) ) )
92		breq2 4419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` v ) = f -> ( u S ( F ` v ) <-> u S f ) )
93		eqeq2 2472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` v ) = f -> ( u = ( F ` v ) <-> u = f ) )
94		breq1 4418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` v ) = f -> ( ( F ` v ) S u <-> f S u ) )
95	92, 93, 94	3orbi123d 1347	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` v ) = f -> ( ( u S ( F ` v ) \/ u = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S u ) <-> ( u S f \/ u = f \/ f S u ) ) )
96	95	cbvfo 6211	. . . . . . . 8 |- ( F : A -onto-> B -> ( A. v e. A ( u S ( F ` v ) \/ u = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S u ) <-> A. f e. B ( u S f \/ u = f \/ f S u ) ) )
97	96	ralbidv 2838	. . . . . . 7 |- ( F : A -onto-> B -> ( A. u e. B A. v e. A ( u S ( F ` v ) \/ u = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S u ) <-> A. u e. B A. f e. B ( u S f \/ u = f \/ f S u ) ) )
98	91, 97	bitrd 261	. . . . . 6 |- ( F : A -onto-> B -> ( A. w e. A A. v e. A ( ( F ` w ) S ( F ` v ) \/ ( F ` w ) = ( F ` v ) \/ ( F ` v ) S ( F ` w ) ) <-> A. u e. B A. f e. B ( u S f \/ u = f \/ f S u ) ) )
99	85, 98	sylan9bb 711	. . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ F : A -onto-> B ) -> ( A. w e. A A. v e. A ( w R v \/ w = v \/ v R w ) <-> A. u e. B A. f e. B ( u S f \/ u = f \/ f S u ) ) )
100	74, 99	sylbi 200	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( A. w e. A A. v e. A ( w R v \/ w = v \/ v R w ) <-> A. u e. B A. f e. B ( u S f \/ u = f \/ f S u ) ) )
101	100	biimprd 231	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( A. u e. B A. f e. B ( u S f \/ u = f \/ f S u ) -> A. w e. A A. v e. A ( w R v \/ w = v \/ v R w ) ) )
102	73, 101	anim12d 570	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( ( S Fr B /\ A. u e. B A. f e. B ( u S f \/ u = f \/ f S u ) ) -> ( R Fr A /\ A. w e. A A. v e. A ( w R v \/ w = v \/ v R w ) ) ) )
103		dfwe2 6634	. 2 |- ( S We B <-> ( S Fr B /\ A. u e. B A. f e. B ( u S f \/ u = f \/ f S u ) ) )
104		dfwe2 6634	. 2 |- ( R We A <-> ( R Fr A /\ A. w e. A A. v e. A ( w R v \/ w = v \/ v R w ) ) )
105	102, 103, 104	3imtr4g 278	1 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( S We B -> R We A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   \/ w3o 990   A.wal 1452   = wceq 1454   E.wex 1673   e. wcel 1897   =/= wne 2632   A.wral 2748   E.wrex 2749   _Vcvv 3056   C_ wss 3415   (/)c0 3742   class class class wbr 4415   {copab 4473   Fr wfr 4808   We wwe 4810   dom cdm 4852   ran crn 4853   |` cres 4854   "cima 4855   Fun wfun 5594   Fn wfn 5595   -1-1->wf1 5597   -onto->wfo 5598   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652  ax-un 6609

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608

This theorem is referenced by: (None)