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Theorem f1oweALT 6735
Description: Alternate proof of f1owe 6203, more direct since not using the isomorphism predicate, but requiring ax-un 6541. (Contributed by NM, 4-Mar-1997.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oweALT.1  |-  R  =  { <. x ,  y
>.  |  ( F `  x ) S ( F `  y ) }
Assertion
Ref Expression
f1oweALT  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( S  We  B  ->  R  We  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, S    x, F, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    R( x, y)

Proof of Theorem f1oweALT
Dummy variables  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofo 5781 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A -onto-> B )
2 df-fo 5550 . . . . 5  |-  ( F : A -onto-> B  <->  ( F  Fn  A  /\  ran  F  =  B ) )
3 freq2 4767 . . . . . . 7  |-  ( ran 
F  =  B  -> 
( S  Fr  ran  F  <-> 
S  Fr  B ) )
43biimprd 226 . . . . . 6  |-  ( ran 
F  =  B  -> 
( S  Fr  B  ->  S  Fr  ran  F
) )
5 df-fn 5547 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  <->  ( Fun  F  /\  dom  F  =  A ) )
6 df-fr 4755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S  Fr  ran  F  <->  A. w
( ( w  C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u ) )
7 vex 3025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  z  e. 
_V
87funimaex 5622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Fun 
F  ->  ( F " z )  e.  _V )
9 n0 3714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  z )
10 funfvima2 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( w  e.  z  ->  ( F `  w )  e.  ( F " z ) ) )
11 ne0i 3710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  w )  e.  ( F "
z )  ->  ( F " z )  =/=  (/) )
1210, 11syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( w  e.  z  ->  ( F "
z )  =/=  (/) ) )
1312exlimdv 1772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( E. w  w  e.  z  ->  ( F " z )  =/=  (/) ) )
149, 13syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  ( F " z )  =/=  (/) ) )
1514imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Fun  F  /\  z  C_  dom  F )  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( F " z
)  =/=  (/) )
16 imassrn 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F
" z )  C_  ran  F
1715, 16jctil 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Fun  F  /\  z  C_  dom  F )  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( ( F "
z )  C_  ran  F  /\  ( F "
z )  =/=  (/) ) )
18 sseq1 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  (
w  C_  ran  F  <->  ( F " z )  C_  ran  F ) )
19 neeq1 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  (
w  =/=  (/)  <->  ( F " z )  =/=  (/) ) )
2018, 19anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  (
( w  C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  <->  ( ( F " z )  C_  ran  F  /\  ( F
" z )  =/=  (/) ) ) )
21 raleq 2964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  ( A. f  e.  w  -.  f S u  <->  A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) )
2221rexeqbi1dv 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  ( E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u  <->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) )
2320, 22imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( F "
z )  ->  (
( ( w  C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u )  <->  ( (
( F " z
)  C_  ran  F  /\  ( F " z )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) ) )
2423spcgv 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F " z )  e.  _V  ->  ( A. w ( ( w 
C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u )  -> 
( ( ( F
" z )  C_  ran  F  /\  ( F
" z )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) ) )
2517, 24syl7 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F " z )  e.  _V  ->  ( A. w ( ( w 
C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u )  -> 
( ( ( Fun 
F  /\  z  C_  dom  F )  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) ) )
268, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
F  ->  ( A. w ( ( w 
C_  ran  F  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  w  A. f  e.  w  -.  f S u )  -> 
( ( ( Fun 
F  /\  z  C_  dom  F )  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) ) )
276, 26syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Fun 
F  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  (
( ( Fun  F  /\  z  C_  dom  F
)  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) ) )
2827com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Fun 
F  ->  ( (
( Fun  F  /\  z  C_  dom  F )  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( S  Fr  ran  F  ->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) ) )
2928expd 437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun 
F  ->  ( ( Fun  F  /\  z  C_  dom  F )  ->  (
z  =/=  (/)  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) ) ) )
3029anabsi5 824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) ) )
3130impd 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( ( z  =/=  (/)  /\  S  Fr  ran  F )  ->  E. u  e.  ( F " z
) A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S u ) )
32 fores 5762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( F  |`  z
) : z -onto-> ( F " z ) )
33 fvres 5839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  z  ->  (
( F  |`  z
) `  v )  =  ( F `  v ) )
34 fvres 5839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  z  ->  (
( F  |`  z
) `  w )  =  ( F `  w ) )
3533, 34breqan12rd 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  e.  z  /\  v  e.  z )  ->  ( ( ( F  |`  z ) `  v
) S ( ( F  |`  z ) `  w )  <->  ( F `  v ) S ( F `  w ) ) )
36 vex 3025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  v  e. 
_V
37 vex 3025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  w  e. 
_V
38 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  v  ->  ( F `  x )  =  ( F `  v ) )
3938breq1d 4376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  v  ->  (
( F `  x
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  v ) S ( F `  y ) ) )
40 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
4140breq2d 4378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  v
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  v ) S ( F `  w ) ) )
42 f1oweALT.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  R  =  { <. x ,  y
>.  |  ( F `  x ) S ( F `  y ) }
4336, 37, 39, 41, 42brab 4686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v R w  <->  ( F `  v ) S ( F `  w ) )
4435, 43syl6rbbr 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  z  /\  v  e.  z )  ->  ( v R w  <-> 
( ( F  |`  z ) `  v
) S ( ( F  |`  z ) `  w ) ) )
4544notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  z  /\  v  e.  z )  ->  ( -.  v R w  <->  -.  ( ( F  |`  z ) `  v ) S ( ( F  |`  z
) `  w )
) )
4645ralbidva 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  z  ->  ( A. v  e.  z  -.  v R w  <->  A. v  e.  z  -.  (
( F  |`  z
) `  v ) S ( ( F  |`  z ) `  w
) ) )
4746rexbiia 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w  <->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  (
( F  |`  z
) `  v ) S ( ( F  |`  z ) `  w
) )
48 breq1 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  |`  z
) `  v )  =  f  ->  ( ( ( F  |`  z
) `  v ) S ( ( F  |`  z ) `  w
)  <->  f S ( ( F  |`  z
) `  w )
) )
4948notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  |`  z
) `  v )  =  f  ->  ( -.  ( ( F  |`  z ) `  v
) S ( ( F  |`  z ) `  w )  <->  -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w
) ) )
5049cbvfo 6146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  |`  z ) : z -onto-> ( F
" z )  -> 
( A. v  e.  z  -.  ( ( F  |`  z ) `  v ) S ( ( F  |`  z
) `  w )  <->  A. f  e.  ( F
" z )  -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w ) ) )
5150rexbidv 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  |`  z ) : z -onto-> ( F
" z )  -> 
( E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  ( ( F  |`  z ) `  v ) S ( ( F  |`  z
) `  w )  <->  E. w  e.  z  A. f  e.  ( F " z )  -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w
) ) )
52 breq2 4370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  |`  z
) `  w )  =  u  ->  ( f S ( ( F  |`  z ) `  w
)  <->  f S u ) )
5352notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  |`  z
) `  w )  =  u  ->  ( -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w )  <->  -.  f S u ) )
5453ralbidv 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  |`  z
) `  w )  =  u  ->  ( A. f  e.  ( F " z )  -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w
)  <->  A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) )
5554cbvexfo 6147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  |`  z ) : z -onto-> ( F
" z )  -> 
( E. w  e.  z  A. f  e.  ( F " z
)  -.  f S ( ( F  |`  z ) `  w
)  <->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) )
5651, 55bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  |`  z ) : z -onto-> ( F
" z )  -> 
( E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  ( ( F  |`  z ) `  v ) S ( ( F  |`  z
) `  w )  <->  E. u  e.  ( F
" z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) )
5747, 56syl5bb 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  |`  z ) : z -onto-> ( F
" z )  -> 
( E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w  <->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) )
5832, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w  <->  E. u  e.  ( F " z ) A. f  e.  ( F " z )  -.  f S u ) )
5931, 58sylibrd 237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  F  /\  z  C_ 
dom  F )  -> 
( ( z  =/=  (/)  /\  S  Fr  ran  F )  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) )
6059exp4b 610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  C_ 
dom  F  ->  ( z  =/=  (/)  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) ) ) )
6160com34 86 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  C_ 
dom  F  ->  ( S  Fr  ran  F  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) ) ) )
6261com23 81 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  (
z  C_  dom  F  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) ) ) )
6362imp4a 592 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  (
( z  C_  dom  F  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) ) )
6463alrimdv 1769 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  A. z
( ( z  C_  dom  F  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) ) )
65 df-fr 4755 . . . . . . . . 9  |-  ( R  Fr  dom  F  <->  A. z
( ( z  C_  dom  F  /\  z  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  z  A. v  e.  z  -.  v R w ) )
6664, 65syl6ibr 230 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  R  Fr  dom  F ) )
67 freq2 4767 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
F  =  A  -> 
( R  Fr  dom  F  <-> 
R  Fr  A ) )
6867biimpd 210 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
F  =  A  -> 
( R  Fr  dom  F  ->  R  Fr  A
) )
6966, 68sylan9 661 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  F  =  A )  -> 
( S  Fr  ran  F  ->  R  Fr  A
) )
705, 69sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  ->  ( S  Fr  ran  F  ->  R  Fr  A )
)
714, 70sylan9r 662 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ran  F  =  B )  ->  ( S  Fr  B  ->  R  Fr  A
) )
722, 71sylbi 198 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( S  Fr  B  ->  R  Fr  A ) )
731, 72syl 17 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( S  Fr  B  ->  R  Fr  A ) )
74 df-f1o 5551 . . . . 5  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  <->  ( F : A -1-1-> B  /\  F : A -onto-> B ) )
75 fveq2 5825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
7675breq1d 4376 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  w ) S ( F `  y ) ) )
77 fveq2 5825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  v  ->  ( F `  y )  =  ( F `  v ) )
7877breq2d 4378 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  (
( F `  w
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  w ) S ( F `  v ) ) )
7937, 36, 76, 78, 42brab 4686 . . . . . . . . 9  |-  ( w R v  <->  ( F `  w ) S ( F `  v ) )
8079a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
w R v  <->  ( F `  w ) S ( F `  v ) ) )
81 f1fveq 6122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
( F `  w
)  =  ( F `
 v )  <->  w  =  v ) )
8281bicomd 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
w  =  v  <->  ( F `  w )  =  ( F `  v ) ) )
8343a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
v R w  <->  ( F `  v ) S ( F `  w ) ) )
8480, 82, 833orbi123d 1334 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
( w R v  \/  w  =  v  \/  v R w )  <->  ( ( F `
 w ) S ( F `  v
)  \/  ( F `
 w )  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S ( F `  w
) ) ) )
85842ralbidva 2807 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( w R v  \/  w  =  v  \/  v R w )  <->  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( ( F `  w ) S ( F `  v )  \/  ( F `  w )  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S ( F `  w ) ) ) )
86 breq1 4369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  =  u  ->  (
( F `  w
) S ( F `
 v )  <->  u S
( F `  v
) ) )
87 eqeq1 2432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  =  u  ->  (
( F `  w
)  =  ( F `
 v )  <->  u  =  ( F `  v ) ) )
88 breq2 4370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  =  u  ->  (
( F `  v
) S ( F `
 w )  <->  ( F `  v ) S u ) )
8986, 87, 883orbi123d 1334 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  w )  =  u  ->  (
( ( F `  w ) S ( F `  v )  \/  ( F `  w )  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S ( F `  w ) )  <->  ( u S ( F `  v
)  \/  u  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S u ) ) )
9089ralbidv 2804 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  w )  =  u  ->  ( A. v  e.  A  ( ( F `  w ) S ( F `  v )  \/  ( F `  w )  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S ( F `  w ) )  <->  A. v  e.  A  ( u S ( F `  v )  \/  u  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S u ) ) )
9190cbvfo 6146 . . . . . . 7  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( ( F `
 w ) S ( F `  v
)  \/  ( F `
 w )  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S ( F `  w
) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  A  ( u S ( F `  v )  \/  u  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S u ) ) )
92 breq2 4370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  v )  =  f  ->  (
u S ( F `
 v )  <->  u S
f ) )
93 eqeq2 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  v )  =  f  ->  (
u  =  ( F `
 v )  <->  u  =  f ) )
94 breq1 4369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  v )  =  f  ->  (
( F `  v
) S u  <->  f S u ) )
9592, 93, 943orbi123d 1334 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  v )  =  f  ->  (
( u S ( F `  v )  \/  u  =  ( F `  v )  \/  ( F `  v ) S u )  <->  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
9695cbvfo 6146 . . . . . . . 8  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A. v  e.  A  ( u S ( F `  v
)  \/  u  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S u )  <->  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
9796ralbidv 2804 . . . . . . 7  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A. u  e.  B  A. v  e.  A  ( u S ( F `  v
)  \/  u  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S u )  <->  A. u  e.  B  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
9891, 97bitrd 256 . . . . . 6  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( ( F `
 w ) S ( F `  v
)  \/  ( F `
 w )  =  ( F `  v
)  \/  ( F `
 v ) S ( F `  w
) )  <->  A. u  e.  B  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
9985, 98sylan9bb 704 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  F : A -onto-> B
)  ->  ( A. w  e.  A  A. v  e.  A  (
w R v  \/  w  =  v  \/  v R w )  <->  A. u  e.  B  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
10074, 99sylbi 198 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( A. w  e.  A  A. v  e.  A  (
w R v  \/  w  =  v  \/  v R w )  <->  A. u  e.  B  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
101100biimprd 226 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( A. u  e.  B  A. f  e.  B  (
u S f  \/  u  =  f  \/  f S u )  ->  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( w R v  \/  w  =  v  \/  v R w ) ) )
10273, 101anim12d 565 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( ( S  Fr  B  /\  A. u  e.  B  A. f  e.  B  (
u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) )  ->  ( R  Fr  A  /\  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( w R v  \/  w  =  v  \/  v R w ) ) ) )
103 dfwe2 6566 . 2  |-  ( S  We  B  <->  ( S  Fr  B  /\  A. u  e.  B  A. f  e.  B  ( u S f  \/  u  =  f  \/  f S u ) ) )
104 dfwe2 6566 . 2  |-  ( R  We  A  <->  ( R  Fr  A  /\  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( w R v  \/  w  =  v  \/  v R w ) ) )
105102, 103, 1043imtr4g 273 1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( S  We  B  ->  R  We  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    \/ w3o 981   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 3022    C_ wss 3379   (/)c0 3704   class class class wbr 4366   {copab 4424    Fr wfr 4752    We wwe 4754   dom cdm 4796   ran crn 4797    |` cres 4798   "cima 4799   Fun wfun 5538    Fn wfn 5539   -1-1->wf1 5541   -onto->wfo 5542   -1-1-onto->wf1o 5543   ` cfv 5544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552
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