Theorem f1owe 4882

Description: Well-ordering of isomorphic relations.

Hypothesis

Ref	Expression
f1owe.1	|- R = {<.x, y>. | (F` x)S(F` y)}

Assertion

Ref	Expression
f1owe	|- (F:A-1-1-onto->B -> (S We B -> R We A))

Distinct variable groups:   x,y,S   x,F,y

Proof of Theorem f1owe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (x = z -> (F` x) = (F` z))
2	1	breq1d 3348	. . . . 5 |- (x = z -> ((F` x)S(F` y) <-> (F` z)S(F` y)))
3		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (y = w -> (F` y) = (F` w))
4	3	breq2d 3350	. . . . 5 |- (y = w -> ((F` z)S(F` y) <-> (F` z)S(F` w)))
5		f1owe.1	. . . . 5 |- R = {<.x, y>. | (F` x)S(F` y)}
6	2, 4, 5	brabg 3568	. . . 4 |- ((z e. A /\ w e. A) -> (zRw <-> (F` z)S(F` w)))
7	6	rgen2a 2160	. . 3 |- A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (F` z)S(F` w))
8		df-iso 4015	. . . 4 |- (F Isom R, S (A, B) <-> (F:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (F` z)S(F` w))))
9		isowe 4880	. . . 4 |- (F Isom R, S (A, B) -> (R We A <-> S We B))
10	8, 9	sylbir 218	. . 3 |- ((F:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (F` z)S(F` w))) -> (R We A <-> S We B))
11	7, 10	mpan2 760	. 2 |- (F:A-1-1-onto->B -> (R We A <-> S We B))
12	11	biimprd 171	1 |- (F:A-1-1-onto->B -> (S We B -> R We A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298  A.wral 2105   class class class wbr 3338  {copab 3395   We wwe 3624  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998   Isom wiso 3999

This theorem is referenced by:  weth 5949

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-iso 4015

Copyright terms: Public domain