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Theorem f1otrspeq 16055
Description: A transposition is characterized by the points it moves. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1otrspeq  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  ->  F  =  G )

Proof of Theorem f1otrspeq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofn 5740 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F  Fn  A )
21ad2antrr 725 . 2  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  ->  F  Fn  A )
3 f1ofn 5740 . . 3  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  G  Fn  A )
43ad2antlr 726 . 2  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  ->  G  Fn  A )
5 1onn 7178 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  1o  e.  om )
7 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  )
)
8 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )
9 df-2o 7021 . . . . . . . . 9  |-  2o  =  suc  1o
108, 9syl6breq 4429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  suc  1o )
117, 10eqbrtrd 4410 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  dom  ( G  \  _I  )  ~~  suc  1o )
12 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
)
13 dif1en 7646 . . . . . . 7  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  dom  ( G  \  _I  )  ~~  suc  1o  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) 
~~  1o )
146, 11, 12, 13syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) 
~~  1o )
15 euen1b 7480 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } )  ~~  1o  <->  E! y  y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) )
16 eumo 2293 . . . . . . 7  |-  ( E! y  y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } )  ->  E* y  y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x }
) )
1715, 16sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } )  ~~  1o  ->  E* y  y  e.  ( dom  ( G 
\  _I  )  \  { x } ) )
1814, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  E* y  y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) )
19 f1omvdmvd 16051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )
2019ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  ->  ( F `
 x )  e.  ( dom  ( F 
\  _I  )  \  { x } ) ) )
2120ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  -> 
( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  ->  ( F `  x
)  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
) ) )
22 eleq2 2524 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F 
\  _I  )  -> 
( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) ) )
2322ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  -> 
( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) ) )
24 difeq1 3565 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F 
\  _I  )  -> 
( dom  ( G  \  _I  )  \  {
x } )  =  ( dom  ( F 
\  _I  )  \  { x } ) )
2524eleq2d 2521 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F 
\  _I  )  -> 
( ( F `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } )  <->  ( F `  x )  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ) )
2625ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  -> 
( ( F `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } )  <->  ( F `  x )  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ) )
2721, 23, 263imtr4d 268 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  -> 
( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  ->  ( F `  x
)  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x }
) ) )
2827imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) )
29 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  ->  G : A -1-1-onto-> A )
30 f1omvdmvd 16051 . . . . . 6  |-  ( ( G : A -1-1-onto-> A  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) )
3129, 30sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) )
32 fvex 5799 . . . . . . 7  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
33 fvex 5799 . . . . . . 7  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
3432, 33pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  e.  _V  /\  ( G `  x )  e.  _V )
35 eleq1 2523 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x }
)  <->  ( F `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) ) )
36 eleq1 2523 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x }
)  <->  ( G `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) ) )
3735, 36moi 3239 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  x )  e.  _V  /\  ( G `  x
)  e.  _V )  /\  E* y  y  e.  ( dom  ( G 
\  _I  )  \  { x } )  /\  ( ( F `
 x )  e.  ( dom  ( G 
\  _I  )  \  { x } )  /\  ( G `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
3834, 37mp3an1 1302 . . . . 5  |-  ( ( E* y  y  e.  ( dom  ( G 
\  _I  )  \  { x } )  /\  ( ( F `
 x )  e.  ( dom  ( G 
\  _I  )  \  { x } )  /\  ( G `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
3918, 28, 31, 38syl12anc 1217 . . . 4  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
4039adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A
-1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  /\  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
)  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
41 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  )
)
4241eleq2d 2521 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) ) )
43 fnelnfp 6007 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  <->  ( F `  x )  =/=  x ) )
442, 43sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  <->  ( F `  x )  =/=  x ) )
4542, 44bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  ( F `  x )  =/=  x ) )
4645necon2bbid 2704 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  x  <->  -.  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
) )
4746biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A
-1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  /\  -.  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
)  ->  ( F `  x )  =  x )
48 fnelnfp 6007 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  ( G `  x )  =/=  x ) )
494, 48sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  ( G `  x )  =/=  x ) )
5049necon2bbid 2704 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G `  x )  =  x  <->  -.  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
) )
5150biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A
-1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  /\  -.  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
)  ->  ( G `  x )  =  x )
5247, 51eqtr4d 2495 . . 3  |-  ( ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A
-1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  /\  -.  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
)  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
5340, 52pm2.61dan 789 . 2  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )
542, 4, 53eqfnfvd 5899 1  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  ->  F  =  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E!weu 2260   E*wmo 2261    =/= wne 2644   _Vcvv 3068    \ cdif 3423   {csn 3975   class class class wbr 4390    _I cid 4729   suc csuc 4819   dom cdm 4938    Fn wfn 5511   -1-1-onto->wf1o 5515   ` cfv 5516   omcom 6576   1oc1o 7013   2oc2o 7014    ~~ cen 7407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-om 6577  df-1o 7020  df-2o 7021  df-er 7201  df-en 7411  df-fin 7414
This theorem is referenced by:  pmtrfb  16073  psgnunilem1  16101
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