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Theorem f1otrspeq 16268
Description: A transposition is characterized by the points it moves. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1otrspeq  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  ->  F  =  G )

Proof of Theorem f1otrspeq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofn 5815 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F  Fn  A )
21ad2antrr 725 . 2  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  ->  F  Fn  A )
3 f1ofn 5815 . . 3  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  G  Fn  A )
43ad2antlr 726 . 2  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  ->  G  Fn  A )
5 1onn 7285 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  1o  e.  om )
7 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  )
)
8 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )
9 df-2o 7128 . . . . . . . . 9  |-  2o  =  suc  1o
108, 9syl6breq 4486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  suc  1o )
117, 10eqbrtrd 4467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  dom  ( G  \  _I  )  ~~  suc  1o )
12 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
)
13 dif1en 7749 . . . . . . 7  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  dom  ( G  \  _I  )  ~~  suc  1o  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) 
~~  1o )
146, 11, 12, 13syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) 
~~  1o )
15 euen1b 7583 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } )  ~~  1o  <->  E! y  y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) )
16 eumo 2308 . . . . . . 7  |-  ( E! y  y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } )  ->  E* y  y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x }
) )
1715, 16sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } )  ~~  1o  ->  E* y  y  e.  ( dom  ( G 
\  _I  )  \  { x } ) )
1814, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  E* y  y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) )
19 f1omvdmvd 16264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )
2019ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  ->  ( F `
 x )  e.  ( dom  ( F 
\  _I  )  \  { x } ) ) )
2120ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  -> 
( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  ->  ( F `  x
)  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
) ) )
22 eleq2 2540 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F 
\  _I  )  -> 
( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) ) )
2322ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  -> 
( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) ) )
24 difeq1 3615 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F 
\  _I  )  -> 
( dom  ( G  \  _I  )  \  {
x } )  =  ( dom  ( F 
\  _I  )  \  { x } ) )
2524eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F 
\  _I  )  -> 
( ( F `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } )  <->  ( F `  x )  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ) )
2625ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  -> 
( ( F `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } )  <->  ( F `  x )  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ) )
2721, 23, 263imtr4d 268 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  -> 
( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  ->  ( F `  x
)  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x }
) ) )
2827imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) )
29 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  ->  G : A -1-1-onto-> A )
30 f1omvdmvd 16264 . . . . . 6  |-  ( ( G : A -1-1-onto-> A  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) )
3129, 30sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) )
32 fvex 5874 . . . . . . 7  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
33 fvex 5874 . . . . . . 7  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
3432, 33pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  e.  _V  /\  ( G `  x )  e.  _V )
35 eleq1 2539 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x }
)  <->  ( F `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) ) )
36 eleq1 2539 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x }
)  <->  ( G `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) ) )
3735, 36moi 3286 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  x )  e.  _V  /\  ( G `  x
)  e.  _V )  /\  E* y  y  e.  ( dom  ( G 
\  _I  )  \  { x } )  /\  ( ( F `
 x )  e.  ( dom  ( G 
\  _I  )  \  { x } )  /\  ( G `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
3834, 37mp3an1 1311 . . . . 5  |-  ( ( E* y  y  e.  ( dom  ( G 
\  _I  )  \  { x } )  /\  ( ( F `
 x )  e.  ( dom  ( G 
\  _I  )  \  { x } )  /\  ( G `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
3918, 28, 31, 38syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
4039adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A
-1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  /\  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
)  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
41 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  )
)
4241eleq2d 2537 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) ) )
43 fnelnfp 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  <->  ( F `  x )  =/=  x ) )
442, 43sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  <->  ( F `  x )  =/=  x ) )
4542, 44bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  ( F `  x )  =/=  x ) )
4645necon2bbid 2723 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  x  <->  -.  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
) )
4746biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A
-1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  /\  -.  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
)  ->  ( F `  x )  =  x )
48 fnelnfp 6089 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  ( G `  x )  =/=  x ) )
494, 48sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  ( G `  x )  =/=  x ) )
5049necon2bbid 2723 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G `  x )  =  x  <->  -.  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
) )
5150biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A
-1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  /\  -.  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
)  ->  ( G `  x )  =  x )
5247, 51eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A
-1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  /\  -.  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
)  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
5340, 52pm2.61dan 789 . 2  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )
542, 4, 53eqfnfvd 5976 1  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  ->  F  =  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E!weu 2275   E*wmo 2276    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   {csn 4027   class class class wbr 4447    _I cid 4790   suc csuc 4880   dom cdm 4999    Fn wfn 5581   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586   omcom 6678   1oc1o 7120   2oc2o 7121    ~~ cen 7510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-1o 7127  df-2o 7128  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517
This theorem is referenced by:  pmtrfb  16286  psgnunilem1  16314
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