MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1otrgitv Structured version   Unicode version

Theorem f1otrgitv 23253
Description: Convenient lemma for f1otrg 23254 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
f1otrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
f1otrkg.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
f1otrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
f1otrkg.b  |-  B  =  ( Base `  H
)
f1otrkg.e  |-  E  =  ( dist `  H
)
f1otrkg.j  |-  J  =  (Itv `  H )
f1otrkg.f  |-  ( ph  ->  F : B -1-1-onto-> P )
f1otrkg.1  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  B  /\  f  e.  B ) )  -> 
( e E f )  =  ( ( F `  e ) D ( F `  f ) ) )
f1otrkg.2  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  B  /\  f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( g  e.  ( e J f )  <-> 
( F `  g
)  e.  ( ( F `  e ) I ( F `  f ) ) ) )
f1otrgitv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
f1otrgitv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
f1otrgitv.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
Assertion
Ref Expression
f1otrgitv  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  ( X J Y )  <-> 
( F `  Z
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    e, f,
g, B    D, e,
f    e, E, f    e, F, f, g    e, I, f, g    e, J, f, g    e, X, f, g    ph, e,
f, g    f, Y, g    g, Z
Allowed substitution hints:    D( g)    P( e, f, g)    E( g)    G( e, f, g)    H( e, f, g)    Y( e)    Z( e, f)

Proof of Theorem f1otrgitv
StepHypRef Expression
1 f1otrkg.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  B  /\  f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( g  e.  ( e J f )  <-> 
( F `  g
)  e.  ( ( F `  e ) I ( F `  f ) ) ) )
21ralrimivvva 2907 . 2  |-  ( ph  ->  A. e  e.  B  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( g  e.  ( e J f )  <-> 
( F `  g
)  e.  ( ( F `  e ) I ( F `  f ) ) ) )
3 f1otrgitv.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
4 f1otrgitv.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
5 f1otrgitv.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
6 oveq1 6199 . . . . . 6  |-  ( e  =  X  ->  (
e J f )  =  ( X J f ) )
76eleq2d 2521 . . . . 5  |-  ( e  =  X  ->  (
g  e.  ( e J f )  <->  g  e.  ( X J f ) ) )
8 fveq2 5791 . . . . . . 7  |-  ( e  =  X  ->  ( F `  e )  =  ( F `  X ) )
98oveq1d 6207 . . . . . 6  |-  ( e  =  X  ->  (
( F `  e
) I ( F `
 f ) )  =  ( ( F `
 X ) I ( F `  f
) ) )
109eleq2d 2521 . . . . 5  |-  ( e  =  X  ->  (
( F `  g
)  e.  ( ( F `  e ) I ( F `  f ) )  <->  ( F `  g )  e.  ( ( F `  X
) I ( F `
 f ) ) ) )
117, 10bibi12d 321 . . . 4  |-  ( e  =  X  ->  (
( g  e.  ( e J f )  <-> 
( F `  g
)  e.  ( ( F `  e ) I ( F `  f ) ) )  <-> 
( g  e.  ( X J f )  <-> 
( F `  g
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  f ) ) ) ) )
12 oveq2 6200 . . . . . 6  |-  ( f  =  Y  ->  ( X J f )  =  ( X J Y ) )
1312eleq2d 2521 . . . . 5  |-  ( f  =  Y  ->  (
g  e.  ( X J f )  <->  g  e.  ( X J Y ) ) )
14 fveq2 5791 . . . . . . 7  |-  ( f  =  Y  ->  ( F `  f )  =  ( F `  Y ) )
1514oveq2d 6208 . . . . . 6  |-  ( f  =  Y  ->  (
( F `  X
) I ( F `
 f ) )  =  ( ( F `
 X ) I ( F `  Y
) ) )
1615eleq2d 2521 . . . . 5  |-  ( f  =  Y  ->  (
( F `  g
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  f ) )  <->  ( F `  g )  e.  ( ( F `  X
) I ( F `
 Y ) ) ) )
1713, 16bibi12d 321 . . . 4  |-  ( f  =  Y  ->  (
( g  e.  ( X J f )  <-> 
( F `  g
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  f ) ) )  <-> 
( g  e.  ( X J Y )  <-> 
( F `  g
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  Y ) ) ) ) )
18 eleq1 2523 . . . . 5  |-  ( g  =  Z  ->  (
g  e.  ( X J Y )  <->  Z  e.  ( X J Y ) ) )
19 fveq2 5791 . . . . . 6  |-  ( g  =  Z  ->  ( F `  g )  =  ( F `  Z ) )
2019eleq1d 2520 . . . . 5  |-  ( g  =  Z  ->  (
( F `  g
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  Y ) )  <->  ( F `  Z )  e.  ( ( F `  X
) I ( F `
 Y ) ) ) )
2118, 20bibi12d 321 . . . 4  |-  ( g  =  Z  ->  (
( g  e.  ( X J Y )  <-> 
( F `  g
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  Y ) ) )  <-> 
( Z  e.  ( X J Y )  <-> 
( F `  Z
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  Y ) ) ) ) )
2211, 17, 21rspc3v 3181 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( A. e  e.  B  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( g  e.  ( e J f )  <->  ( F `  g )  e.  ( ( F `  e
) I ( F `
 f ) ) )  ->  ( Z  e.  ( X J Y )  <->  ( F `  Z )  e.  ( ( F `  X
) I ( F `
 Y ) ) ) ) )
233, 4, 5, 22syl3anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. e  e.  B  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( g  e.  ( e J f )  <->  ( F `  g )  e.  ( ( F `  e
) I ( F `
 f ) ) )  ->  ( Z  e.  ( X J Y )  <->  ( F `  Z )  e.  ( ( F `  X
) I ( F `
 Y ) ) ) ) )
242, 23mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  ( X J Y )  <-> 
( F `  Z
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   -1-1-onto->wf1o 5517   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Basecbs 14278   distcds 14351  Itvcitv 23014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-iota 5481  df-fv 5526  df-ov 6195
This theorem is referenced by:  f1otrg  23254  f1otrge  23255
  Copyright terms: Public domain W3C validator