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Theorem f1otrgitv 24045
Description: Convenient lemma for f1otrg 24046 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
f1otrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
f1otrkg.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
f1otrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
f1otrkg.b  |-  B  =  ( Base `  H
)
f1otrkg.e  |-  E  =  ( dist `  H
)
f1otrkg.j  |-  J  =  (Itv `  H )
f1otrkg.f  |-  ( ph  ->  F : B -1-1-onto-> P )
f1otrkg.1  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  B  /\  f  e.  B ) )  -> 
( e E f )  =  ( ( F `  e ) D ( F `  f ) ) )
f1otrkg.2  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  B  /\  f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( g  e.  ( e J f )  <-> 
( F `  g
)  e.  ( ( F `  e ) I ( F `  f ) ) ) )
f1otrgitv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
f1otrgitv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
f1otrgitv.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
Assertion
Ref Expression
f1otrgitv  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  ( X J Y )  <-> 
( F `  Z
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    e, f,
g, B    D, e,
f    e, E, f    e, F, f, g    e, I, f, g    e, J, f, g    e, X, f, g    ph, e,
f, g    f, Y, g    g, Z
Allowed substitution hints:    D( g)    P( e, f, g)    E( g)    G( e, f, g)    H( e, f, g)    Y( e)    Z( e, f)

Proof of Theorem f1otrgitv
StepHypRef Expression
1 f1otrkg.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  B  /\  f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( g  e.  ( e J f )  <-> 
( F `  g
)  e.  ( ( F `  e ) I ( F `  f ) ) ) )
21ralrimivvva 2865 . 2  |-  ( ph  ->  A. e  e.  B  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( g  e.  ( e J f )  <-> 
( F `  g
)  e.  ( ( F `  e ) I ( F `  f ) ) ) )
3 f1otrgitv.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
4 f1otrgitv.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
5 f1otrgitv.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
6 oveq1 6288 . . . . . 6  |-  ( e  =  X  ->  (
e J f )  =  ( X J f ) )
76eleq2d 2513 . . . . 5  |-  ( e  =  X  ->  (
g  e.  ( e J f )  <->  g  e.  ( X J f ) ) )
8 fveq2 5856 . . . . . . 7  |-  ( e  =  X  ->  ( F `  e )  =  ( F `  X ) )
98oveq1d 6296 . . . . . 6  |-  ( e  =  X  ->  (
( F `  e
) I ( F `
 f ) )  =  ( ( F `
 X ) I ( F `  f
) ) )
109eleq2d 2513 . . . . 5  |-  ( e  =  X  ->  (
( F `  g
)  e.  ( ( F `  e ) I ( F `  f ) )  <->  ( F `  g )  e.  ( ( F `  X
) I ( F `
 f ) ) ) )
117, 10bibi12d 321 . . . 4  |-  ( e  =  X  ->  (
( g  e.  ( e J f )  <-> 
( F `  g
)  e.  ( ( F `  e ) I ( F `  f ) ) )  <-> 
( g  e.  ( X J f )  <-> 
( F `  g
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  f ) ) ) ) )
12 oveq2 6289 . . . . . 6  |-  ( f  =  Y  ->  ( X J f )  =  ( X J Y ) )
1312eleq2d 2513 . . . . 5  |-  ( f  =  Y  ->  (
g  e.  ( X J f )  <->  g  e.  ( X J Y ) ) )
14 fveq2 5856 . . . . . . 7  |-  ( f  =  Y  ->  ( F `  f )  =  ( F `  Y ) )
1514oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( f  =  Y  ->  (
( F `  X
) I ( F `
 f ) )  =  ( ( F `
 X ) I ( F `  Y
) ) )
1615eleq2d 2513 . . . . 5  |-  ( f  =  Y  ->  (
( F `  g
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  f ) )  <->  ( F `  g )  e.  ( ( F `  X
) I ( F `
 Y ) ) ) )
1713, 16bibi12d 321 . . . 4  |-  ( f  =  Y  ->  (
( g  e.  ( X J f )  <-> 
( F `  g
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  f ) ) )  <-> 
( g  e.  ( X J Y )  <-> 
( F `  g
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  Y ) ) ) ) )
18 eleq1 2515 . . . . 5  |-  ( g  =  Z  ->  (
g  e.  ( X J Y )  <->  Z  e.  ( X J Y ) ) )
19 fveq2 5856 . . . . . 6  |-  ( g  =  Z  ->  ( F `  g )  =  ( F `  Z ) )
2019eleq1d 2512 . . . . 5  |-  ( g  =  Z  ->  (
( F `  g
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  Y ) )  <->  ( F `  Z )  e.  ( ( F `  X
) I ( F `
 Y ) ) ) )
2118, 20bibi12d 321 . . . 4  |-  ( g  =  Z  ->  (
( g  e.  ( X J Y )  <-> 
( F `  g
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  Y ) ) )  <-> 
( Z  e.  ( X J Y )  <-> 
( F `  Z
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  Y ) ) ) ) )
2211, 17, 21rspc3v 3208 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( A. e  e.  B  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( g  e.  ( e J f )  <->  ( F `  g )  e.  ( ( F `  e
) I ( F `
 f ) ) )  ->  ( Z  e.  ( X J Y )  <->  ( F `  Z )  e.  ( ( F `  X
) I ( F `
 Y ) ) ) ) )
233, 4, 5, 22syl3anc 1229 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. e  e.  B  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( g  e.  ( e J f )  <->  ( F `  g )  e.  ( ( F `  e
) I ( F `
 f ) ) )  ->  ( Z  e.  ( X J Y )  <->  ( F `  Z )  e.  ( ( F `  X
) I ( F `
 Y ) ) ) ) )
242, 23mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  ( X J Y )  <-> 
( F `  Z
)  e.  ( ( F `  X ) I ( F `  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   distcds 14583  Itvcitv 23704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-iota 5541  df-fv 5586  df-ov 6284
This theorem is referenced by:  f1otrg  24046  f1otrge  24047
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