MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1osn Structured version   Unicode version

Theorem f1osn 5868
Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function. (Contributed by NM, 18-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
f1osn.1  |-  A  e. 
_V
f1osn.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
f1osn  |-  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }

Proof of Theorem f1osn
StepHypRef Expression
1 f1osn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 f1osn.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
31, 2fnsn 5654 . 2  |-  { <. A ,  B >. }  Fn  { A }
42, 1fnsn 5654 . . 3  |-  { <. B ,  A >. }  Fn  { B }
51, 2cnvsn 5339 . . . 4  |-  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. }
65fneq1i 5688 . . 3  |-  ( `' { <. A ,  B >. }  Fn  { B } 
<->  { <. B ,  A >. }  Fn  { B } )
74, 6mpbir 212 . 2  |-  `' { <. A ,  B >. }  Fn  { B }
8 dff1o4 5839 . 2  |-  ( {
<. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }  <->  ( { <. A ,  B >. }  Fn  { A }  /\  `' { <. A ,  B >. }  Fn  { B } ) )
93, 7, 8mpbir2an 928 1  |-  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1870   _Vcvv 3087   {csn 4002   <.cop 4008   `'ccnv 4853    Fn wfn 5596   -1-1-onto->wf1o 5600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-br 4427  df-opab 4485  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608
This theorem is referenced by:  f1osng  5869  fsn  6076  mapsn  7521  ensn1  7640  phplem2  7758  isinf  7791  pssnn  7796  ac6sfi  7821  marypha1lem  7953  hashf1lem1  12613  0ram  14941  mdet0f1o  19549  imasdsf1olem  21319  istrkg2ld  24371  axlowdimlem10  24827  constr1trl  25163  vdegp1ai  25557  vdegp1bi  25558  grposn  25788  subfacp1lem5  29695  poimirlem3  31650
  Copyright terms: Public domain W3C validator