MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1osn Structured version   Unicode version

Theorem f1osn 5859
Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function. (Contributed by NM, 18-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
f1osn.1  |-  A  e. 
_V
f1osn.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
f1osn  |-  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }

Proof of Theorem f1osn
StepHypRef Expression
1 f1osn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 f1osn.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
31, 2fnsn 5647 . 2  |-  { <. A ,  B >. }  Fn  { A }
42, 1fnsn 5647 . . 3  |-  { <. B ,  A >. }  Fn  { B }
51, 2cnvsn 5497 . . . 4  |-  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. }
65fneq1i 5681 . . 3  |-  ( `' { <. A ,  B >. }  Fn  { B } 
<->  { <. B ,  A >. }  Fn  { B } )
74, 6mpbir 209 . 2  |-  `' { <. A ,  B >. }  Fn  { B }
8 dff1o4 5830 . 2  |-  ( {
<. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }  <->  ( { <. A ,  B >. }  Fn  { A }  /\  `' { <. A ,  B >. }  Fn  { B } ) )
93, 7, 8mpbir2an 918 1  |-  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   {csn 4033   <.cop 4039   `'ccnv 5004    Fn wfn 5589   -1-1-onto->wf1o 5593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-br 4454  df-opab 4512  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601
This theorem is referenced by:  f1osng  5860  fsn  6070  mapsn  7472  ensn1  7591  phplem2  7709  isinf  7745  pssnn  7750  ac6sfi  7776  marypha1lem  7905  hashf1lem1  12485  0ram  14414  mdet0f1o  18964  imasdsf1olem  20744  istrkg2ld  23724  axlowdimlem10  24077  constr1trl  24413  vdegp1ai  24807  vdegp1bi  24808  grposn  25040  subfacp1lem5  28453
  Copyright terms: Public domain W3C validator