Theorem f1ores 4654

Description: The restriction of a one-to-one function maps one-to-one onto the image.

Assertion

Ref	Expression
f1ores	|- ((F:A-1-1->B /\ C C_ A) -> (F |` C):C-1-1-onto->(F"C))

Proof of Theorem f1ores

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffun 4565	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> Fun F)
2	1	adantr 425	. . . . 5 |- ((F:A-->B /\ C C_ A) -> Fun F)
3		fdm 4567	. . . . . . 7 |- (F:A-->B -> dom F = A)
4	3	sseq2d 2645	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> (C C_ dom F <-> C C_ A))
5	4	biimpar 461	. . . . 5 |- ((F:A-->B /\ C C_ A) -> C C_ dom F)
6		fores 4627	. . . . 5 |- ((Fun F /\ C C_ dom F) -> (F |` C):C-onto->(F"C))
7	2, 5, 6	syl11anc 524	. . . 4 |- ((F:A-->B /\ C C_ A) -> (F |` C):C-onto->(F"C))
8		funres11 4486	. . . 4 |- (Fun `'F -> Fun `'(F |` C))
9	7, 8	anim12i 360	. . 3 |- (((F:A-->B /\ C C_ A) /\ Fun `'F) -> ((F |` C):C-onto->(F"C) /\ Fun `'(F |` C)))
10	9	an1rs 547	. 2 |- (((F:A-->B /\ Fun `'F) /\ C C_ A) -> ((F |` C):C-onto->(F"C) /\ Fun `'(F |` C)))
11		df-f1 4011	. . 3 |- (F:A-1-1->B <-> (F:A-->B /\ Fun `'F))
12	11	anbi1i 539	. 2 |- ((F:A-1-1->B /\ C C_ A) <-> ((F:A-->B /\ Fun `'F) /\ C C_ A))
13		dff1o3 4641	. 2 |- ((F |` C):C-1-1-onto->(F"C) <-> ((F |` C):C-onto->(F"C) /\ Fun `'(F |` C)))
14	10, 12, 13	3imtr4i 236	1 |- ((F:A-1-1->B /\ C C_ A) -> (F |` C):C-1-1-onto->(F"C))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   C_ wss 2593  `'ccnv 3985  dom cdm 3986   |` cres 3988  "cima 3989  Fun wfun 3992  -->wf 3994  -1-1->wf1 3995  -onto->wfo 3996  -1-1-onto->wf1o 3997

This theorem is referenced by:  f1imacnv 4656  f1imaen 5481  ac6sfi 5509  phplem4 5605  php3 5609  ssfi 5630  unifi 5648  fiint 5650  unbenlem 8773  fbssint 10279  adjbd1o 11655  finsschain 15373  compfipin0lem 15435  compfipin0 15436  fcluscomplem 15620  ismtyres 15954

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013

Copyright terms: Public domain