MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1omvdco2 Structured version   Unicode version

Theorem f1omvdco2 16279
Description: If exactly one of two permutations is limited to a set of points, then the composition will not be. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1omvdco2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  \/_  dom  ( G  \  _I  )  C_  X ) )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X )

Proof of Theorem f1omvdco2
StepHypRef Expression
1 excxor 1365 . . 3  |-  ( ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  \/_  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )  <->  ( ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  -.  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )  \/  ( -.  dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X ) ) )
2 coass 5526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F  o.  F
)  o.  G )  =  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )
3 f1ococnv1 5844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )
43coeq1d 5164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( ( `' F  o.  F
)  o.  G )  =  ( (  _I  |`  A )  o.  G
) )
5 f1of 5816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  G : A
--> A )
6 fcoi2 5760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> A  -> 
( (  _I  |`  A )  o.  G )  =  G )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  ( (  _I  |`  A )  o.  G )  =  G )
84, 7sylan9eq 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( `' F  o.  F )  o.  G
)  =  G )
92, 8syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  ( `' F  o.  ( F  o.  G )
)  =  G )
109difeq1d 3621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  =  ( G  \  _I  ) )
1110dmeqd 5205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  dom  ( ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  =  dom  ( G 
\  _I  ) )
1211adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  =  dom  ( G 
\  _I  ) )
13 mvdco 16276 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  C_  ( dom  ( `' F  \  _I  )  u.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  ) )
14 f1omvdcnv 16275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  dom  ( `' F  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' F  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  )
)
16 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  X )
1715, 16eqsstrd 3538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' F  \  _I  )  C_  X )
18 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X )
1917, 18unssd 3680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  -> 
( dom  ( `' F  \  _I  )  u. 
dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  ) )  C_  X
)
2013, 19syl5ss 3515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  C_  X )
2112, 20eqsstr3d 3539 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )
2221expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  dom  ( F 
\  _I  )  C_  X )  ->  ( dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X  ->  dom  ( G  \  _I  )  C_  X ) )
2322con3d 133 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  dom  ( F 
\  _I  )  C_  X )  ->  ( -.  dom  ( G  \  _I  )  C_  X  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
2423expimpd 603 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  -.  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
25 coass 5526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  o.  G )  o.  `' G )  =  ( F  o.  ( G  o.  `' G ) )
26 f1ococnv2 5842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  ( G  o.  `' G )  =  (  _I  |`  A )
)
2726coeq2d 5165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  ( G  o.  `' G ) )  =  ( F  o.  (  _I  |`  A ) ) )
28 f1of 5816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F : A
--> A )
29 fcoi1 5759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : A --> A  -> 
( F  o.  (  _I  |`  A ) )  =  F )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  (  _I  |`  A ) )  =  F )
3127, 30sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  ( F  o.  ( G  o.  `' G ) )  =  F )
3225, 31syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( F  o.  G
)  o.  `' G
)  =  F )
3332difeq1d 3621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  =  ( F  \  _I  ) )
3433dmeqd 5205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  dom  ( ( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  =  dom  ( F 
\  _I  ) )
3534adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  =  dom  ( F 
\  _I  ) )
36 mvdco 16276 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  C_  ( dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  u.  dom  ( `' G  \  _I  ) )
37 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X )
38 f1omvdcnv 16275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  dom  ( `' G  \  _I  )  =  dom  ( G  \  _I  ) )
3938ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' G  \  _I  )  =  dom  ( G  \  _I  )
)
40 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )
4139, 40eqsstrd 3538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' G  \  _I  )  C_  X )
4237, 41unssd 3680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  -> 
( dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  u.  dom  ( `' G  \  _I  ) )  C_  X
)
4336, 42syl5ss 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  C_  X )
4435, 43eqsstr3d 3539 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  X )
4544expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X )  ->  ( dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  X ) )
4645con3d 133 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X )  ->  ( -.  dom  ( F  \  _I  )  C_  X  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
4746expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  -.  dom  ( F 
\  _I  )  C_  X )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
4847ancomsd 454 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( -.  dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
4924, 48jaod 380 . . 3  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  -.  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )  \/  ( -.  dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( G  \  _I  )  C_  X ) )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )
501, 49syl5bi 217 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  \/_  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )
51503impia 1193 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  \/_  dom  ( G  \  _I  )  C_  X ) )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    \/_ wxo 1360    = wceq 1379    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476    _I cid 4790   `'ccnv 4998   dom cdm 4999    |` cres 5001    o. ccom 5003   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596
This theorem is referenced by:  f1omvdco3  16280
  Copyright terms: Public domain W3C validator