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Theorem f1omvdco2 15945
Description: If exactly one of two permutations is limited to a set of points, then the composition will not be. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1omvdco2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  \/_  dom  ( G  \  _I  )  C_  X ) )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X )

Proof of Theorem f1omvdco2
StepHypRef Expression
1 excxor 1355 . . 3  |-  ( ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  \/_  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )  <->  ( ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  -.  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )  \/  ( -.  dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X ) ) )
2 coass 5351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F  o.  F
)  o.  G )  =  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )
3 f1ococnv1 5664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )
43coeq1d 4996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( ( `' F  o.  F
)  o.  G )  =  ( (  _I  |`  A )  o.  G
) )
5 f1of 5636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  G : A
--> A )
6 fcoi2 5581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> A  -> 
( (  _I  |`  A )  o.  G )  =  G )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  ( (  _I  |`  A )  o.  G )  =  G )
84, 7sylan9eq 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( `' F  o.  F )  o.  G
)  =  G )
92, 8syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  ( `' F  o.  ( F  o.  G )
)  =  G )
109difeq1d 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  =  ( G  \  _I  ) )
1110dmeqd 5037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  dom  ( ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  =  dom  ( G 
\  _I  ) )
1211adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  =  dom  ( G 
\  _I  ) )
13 mvdco 15942 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  C_  ( dom  ( `' F  \  _I  )  u.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  ) )
14 f1omvdcnv 15941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  dom  ( `' F  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' F  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  )
)
16 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  X )
1715, 16eqsstrd 3385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' F  \  _I  )  C_  X )
18 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X )
1917, 18unssd 3527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  -> 
( dom  ( `' F  \  _I  )  u. 
dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  ) )  C_  X
)
2013, 19syl5ss 3362 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  C_  X )
2112, 20eqsstr3d 3386 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )
2221expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  dom  ( F 
\  _I  )  C_  X )  ->  ( dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X  ->  dom  ( G  \  _I  )  C_  X ) )
2322con3d 133 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  dom  ( F 
\  _I  )  C_  X )  ->  ( -.  dom  ( G  \  _I  )  C_  X  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
2423expimpd 603 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  -.  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
25 coass 5351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  o.  G )  o.  `' G )  =  ( F  o.  ( G  o.  `' G ) )
26 f1ococnv2 5662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  ( G  o.  `' G )  =  (  _I  |`  A )
)
2726coeq2d 4997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  ( G  o.  `' G ) )  =  ( F  o.  (  _I  |`  A ) ) )
28 f1of 5636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F : A
--> A )
29 fcoi1 5580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : A --> A  -> 
( F  o.  (  _I  |`  A ) )  =  F )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  (  _I  |`  A ) )  =  F )
3127, 30sylan9eqr 2492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  ( F  o.  ( G  o.  `' G ) )  =  F )
3225, 31syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( F  o.  G
)  o.  `' G
)  =  F )
3332difeq1d 3468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  =  ( F  \  _I  ) )
3433dmeqd 5037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  dom  ( ( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  =  dom  ( F 
\  _I  ) )
3534adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  =  dom  ( F 
\  _I  ) )
36 mvdco 15942 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  C_  ( dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  u.  dom  ( `' G  \  _I  ) )
37 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X )
38 f1omvdcnv 15941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  dom  ( `' G  \  _I  )  =  dom  ( G  \  _I  ) )
3938ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' G  \  _I  )  =  dom  ( G  \  _I  )
)
40 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )
4139, 40eqsstrd 3385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' G  \  _I  )  C_  X )
4237, 41unssd 3527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  -> 
( dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  u.  dom  ( `' G  \  _I  ) )  C_  X
)
4336, 42syl5ss 3362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  C_  X )
4435, 43eqsstr3d 3386 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  X )
4544expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X )  ->  ( dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  X ) )
4645con3d 133 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X )  ->  ( -.  dom  ( F  \  _I  )  C_  X  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
4746expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  -.  dom  ( F 
\  _I  )  C_  X )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
4847ancomsd 454 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( -.  dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
4924, 48jaod 380 . . 3  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  -.  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )  \/  ( -.  dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( G  \  _I  )  C_  X ) )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )
501, 49syl5bi 217 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  \/_  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )
51503impia 1184 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  \/_  dom  ( G  \  _I  )  C_  X ) )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    \/_ wxo 1350    = wceq 1369    \ cdif 3320    u. cun 3321    C_ wss 3323    _I cid 4626   `'ccnv 4834   dom cdm 4835    |` cres 4837    o. ccom 4839   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421
This theorem is referenced by:  f1omvdco3  15946
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