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Theorem f1oiso2 6247
Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation  S. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oiso2.1  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) }
Assertion
Ref Expression
f1oiso2  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, H, y    x, R, y
Allowed substitution hints:    S( x, y)

Proof of Theorem f1oiso2
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oiso2.1 . . 3  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) }
2 f1ocnvdm 6187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  x  e.  B )  ->  ( `' H `  x )  e.  A
)
32adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( `' H `  x )  e.  A )
433adant3 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  -> 
( `' H `  x )  e.  A
)
5 f1ocnvdm 6187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  y  e.  B )  ->  ( `' H `  y )  e.  A
)
65adantrl 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( `' H `  y )  e.  A )
763adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  -> 
( `' H `  y )  e.  A
)
8 f1ocnvfv2 6182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  x  e.  B )  ->  ( H `  ( `' H `  x ) )  =  x )
98eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  x  e.  B )  ->  x  =  ( H `
 ( `' H `  x ) ) )
10 f1ocnvfv2 6182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  y  e.  B )  ->  ( H `  ( `' H `  y ) )  =  y )
1110eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  y  e.  B )  ->  y  =  ( H `
 ( `' H `  y ) ) )
129, 11anim12dan 835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  =  ( H `
 ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) ) )
13123adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  -> 
( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) ) )
14 simp3 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  -> 
( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )
15 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( `' H `  y )  ->  ( H `  w )  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) )
1615eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( `' H `  y )  ->  (
y  =  ( H `
 w )  <->  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) ) )
1716anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' H `  y )  ->  (
( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) )  <->  ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) ) ) )
18 breq2 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' H `  y )  ->  (
( `' H `  x ) R w  <-> 
( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) )
1917, 18anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( `' H `  y )  ->  (
( ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) )  /\  ( `' H `  x ) R w )  <->  ( (
x  =  ( H `
 ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) ) )
2019rspcev 3219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' H `  y )  e.  A  /\  ( ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) )  ->  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) )  /\  ( `' H `  x ) R w ) )
217, 13, 14, 20syl12anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  ->  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) )  /\  ( `' H `  x ) R w ) )
22 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  ( H `  z )  =  ( H `  ( `' H `  x ) ) )
2322eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  (
x  =  ( H `
 z )  <->  x  =  ( H `  ( `' H `  x ) ) ) )
2423anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  (
( x  =  ( H `  z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  <->  ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) ) ) )
25 breq1 4456 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  (
z R w  <->  ( `' H `  x ) R w ) )
2624, 25anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  (
( ( x  =  ( H `  z
)  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w )  <->  ( (
x  =  ( H `
 ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  ( `' H `  x ) R w ) ) )
2726rexbidv 2978 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  ( E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  z
)  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w )  <->  E. w  e.  A  ( (
x  =  ( H `
 ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  ( `' H `  x ) R w ) ) )
2827rspcev 3219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' H `  x )  e.  A  /\  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) )  /\  ( `' H `  x ) R w ) )  ->  E. z  e.  A  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  z
)  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )
294, 21, 28syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  ->  E. z  e.  A  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  z
)  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )
30293expib 1199 . . . . 5  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( (
( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  ->  E. z  e.  A  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  z
)  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) ) )
31 simp3ll 1067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  x  =  ( H `  z ) )
32 simp1 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
33 simp2l 1022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  z  e.  A
)
34 f1of 5822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
3534ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z
)  e.  B )
3632, 33, 35syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( H `  z )  e.  B
)
3731, 36eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  x  e.  B
)
38 simp3lr 1068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  y  =  ( H `  w ) )
39 simp2r 1023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  w  e.  A
)
4034ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  w  e.  A )  ->  ( H `  w
)  e.  B )
4132, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( H `  w )  e.  B
)
4238, 41eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  y  e.  B
)
43 simp3r 1025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  z R w )
4431eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( H `  z )  =  x )
45 f1ocnvfv 6183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  z  e.  A )  ->  ( ( H `  z )  =  x  ->  ( `' H `  x )  =  z ) )
4632, 33, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( ( H `
 z )  =  x  ->  ( `' H `  x )  =  z ) )
4744, 46mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( `' H `  x )  =  z )
4838eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( H `  w )  =  y )
49 f1ocnvfv 6183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  w  e.  A )  ->  ( ( H `  w )  =  y  ->  ( `' H `  y )  =  w ) )
5032, 39, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( ( H `
 w )  =  y  ->  ( `' H `  y )  =  w ) )
5148, 50mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( `' H `  y )  =  w )
5243, 47, 513brtr4d 4483 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )
5337, 42, 52jca31 534 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) )
54533exp 1195 . . . . . 6  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( (
z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( ( ( x  =  ( H `  z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w )  -> 
( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) ) ) )
5554rexlimdvv 2965 . . . . 5  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
( x  =  ( H `  z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w )  ->  (
( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) ) )
5630, 55impbid 191 . . . 4  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( (
( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  A  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) ) )
5756opabbidv 4516 . . 3  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
( x  =  ( H `  z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) } )
581, 57syl5eq 2520 . 2  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  S  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  E. w  e.  A  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) } )
59 f1oiso 6246 . 2  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  S  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
( x  =  ( H `  z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) } )  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
6058, 59mpdan 668 1  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   class class class wbr 4453   {copab 4510   `'ccnv 5004   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594    Isom wiso 5595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603
This theorem is referenced by:  fnwelem  6910
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