Theorem f1oi 4671

Description: A restriction of the identity relation is a one-to-one onto function. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1oi	|- ( _I |` A):A-1-1-onto->A

Proof of Theorem f1oi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff1o4 4644	. 2 |- (( _I |` A):A-1-1-onto->A <-> (( _I |` A) Fn A /\ `'( _I |` A) Fn A))
2		fnresi 4529	. 2 |- ( _I |` A) Fn A
3		cnvresid 4488	. . . 4 |- `'( _I |` A) = ( _I |` A)
4	3	fneq1i 4507	. . 3 |- (`'( _I |` A) Fn A <-> ( _I |` A) Fn A)
5	2, 4	mpbir 207	. 2 |- `'( _I |` A) Fn A
6	1, 2, 5	mpbir2an 800	1 |- ( _I |` A):A-1-1-onto->A

Syntax hints:   _I cid 3582  `'ccnv 3985   |` cres 3988   Fn wfn 3993  -1-1-onto->wf1o 3997

This theorem is referenced by:  f1ovi 4673  isoid 4872  enrefg 5449  idssen 5465  ssdomg 5467  ordiso 5683  acdc2lem2 8758  acdc5lem2 8761  symggrpi 10205  symgidi 10206  hoif 11317  idunop 11539  idcnop 11542  elunop2 11575  ghomsn 13631  scprefat 14380  dispos 14632  symgfo 14730  idhme 14879  hmphre 14884  idfisf 15189  idsubfun 15206  infemb 15207  ordisoOLD 15374  filfm 15600  reparpht 16065

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013

Copyright terms: Public domain