MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oi Unicode version

Theorem f1oi 5672
Description: A restriction of the identity relation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
f1oi  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A

Proof of Theorem f1oi
StepHypRef Expression
1 fnresi 5521 . 2  |-  (  _I  |`  A )  Fn  A
2 cnvresid 5482 . . . 4  |-  `' (  _I  |`  A )  =  (  _I  |`  A )
32fneq1i 5498 . . 3  |-  ( `' (  _I  |`  A )  Fn  A  <->  (  _I  |`  A )  Fn  A
)
41, 3mpbir 201 . 2  |-  `' (  _I  |`  A )  Fn  A
5 dff1o4 5641 . 2  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  <->  ( (  _I  |`  A )  Fn  A  /\  `' (  _I  |`  A )  Fn  A ) )
61, 4, 5mpbir2an 887 1  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    _I cid 4453   `'ccnv 4836    |` cres 4839    Fn wfn 5408   -1-1-onto->wf1o 5412
This theorem is referenced by:  f1ovi  5673  fveqf1o  5988  isoid  6008  enrefg  7098  ssdomg  7112  hartogslem1  7467  wdomref  7496  infxpenc  7855  pwfseqlem5  8494  dfle2  10696  wunndx  13440  idfucl  14033  idffth  14085  ressffth  14090  setccatid  14194  idghm  14976  symggrp  15058  symgid  15059  ssidcn  17273  resthauslem  17381  sshauslem  17390  hausdiag  17630  idqtop  17691  fmid  17945  iducn  18266  mbfid  19481  dvid  19757  dvexp  19792  wilthlem2  20805  wilthlem3  20806  ausisusgra  21333  cusgraexilem2  21429  sizeusglecusglem1  21446  hoif  23210  idunop  23434  idcnop  23437  elunop2  23469  qqhre  24339  rrhre  24340  subfacp1lem4  24822  subfacp1lem5  24823  ghomsn  25052  mzpresrename  26697  eldioph2lem1  26708  eldioph2lem2  26709  diophren  26764  kelac2  27031  islinds2  27151  lindfres  27161  lindsmm  27166  lnrfg  27191  idlaut  30578  tendoidcl  31251  tendo0co2  31270  erng1r  31477  dvalveclem  31508  dva0g  31510  dvh0g  31594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420
  Copyright terms: Public domain W3C validator