MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oi Structured version   Unicode version

Theorem f1oi 5673
Description: A restriction of the identity relation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
f1oi  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A

Proof of Theorem f1oi
StepHypRef Expression
1 fnresi 5525 . 2  |-  (  _I  |`  A )  Fn  A
2 cnvresid 5485 . . . 4  |-  `' (  _I  |`  A )  =  (  _I  |`  A )
32fneq1i 5502 . . 3  |-  ( `' (  _I  |`  A )  Fn  A  <->  (  _I  |`  A )  Fn  A
)
41, 3mpbir 209 . 2  |-  `' (  _I  |`  A )  Fn  A
5 dff1o4 5646 . 2  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  <->  ( (  _I  |`  A )  Fn  A  /\  `' (  _I  |`  A )  Fn  A ) )
61, 4, 5mpbir2an 906 1  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    _I cid 4627   `'ccnv 4835    |` cres 4838    Fn wfn 5410   -1-1-onto->wf1o 5414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-br 4290  df-opab 4348  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422
This theorem is referenced by:  f1ovi  5674  fveqf1o  5997  isoid  6017  enrefg  7337  ssdomg  7351  hartogslem1  7752  wdomref  7783  infxpenc  8180  infxpencOLD  8185  pwfseqlem5  8826  dfle2  11120  wunndx  14186  idfucl  14787  idffth  14839  ressffth  14844  setccatid  14948  idghm  15755  symggrp  15898  symgid  15899  idresperm  15907  islinds2  18142  lindfres  18152  lindsmm  18157  mdetunilem9  18326  ssidcn  18759  resthauslem  18867  sshauslem  18876  hausdiag  19118  idqtop  19179  fmid  19433  iducn  19758  mbfid  21014  dvid  21292  dvexp  21327  wilthlem2  22350  wilthlem3  22351  ausisusgra  23198  cusgraexilem2  23294  sizeusglecusglem1  23311  hoif  25077  idunop  25301  idcnop  25304  elunop2  25336  fcobijfs  25945  qqhre  26366  rrhre  26367  subfacp1lem4  26985  subfacp1lem5  26986  ghomsn  27220  mzpresrename  28996  eldioph2lem1  29007  eldioph2lem2  29008  diophren  29061  kelac2  29327  lnrfg  29384  idlaut  33428  tendoidcl  34101  tendo0co2  34120  erng1r  34327  dvalveclem  34358  dva0g  34360  dvh0g  34444
  Copyright terms: Public domain W3C validator