MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oi Structured version   Unicode version

Theorem f1oi 5676
Description: A restriction of the identity relation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
f1oi  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A

Proof of Theorem f1oi
StepHypRef Expression
1 fnresi 5528 . 2  |-  (  _I  |`  A )  Fn  A
2 cnvresid 5488 . . . 4  |-  `' (  _I  |`  A )  =  (  _I  |`  A )
32fneq1i 5505 . . 3  |-  ( `' (  _I  |`  A )  Fn  A  <->  (  _I  |`  A )  Fn  A
)
41, 3mpbir 209 . 2  |-  `' (  _I  |`  A )  Fn  A
5 dff1o4 5649 . 2  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  <->  ( (  _I  |`  A )  Fn  A  /\  `' (  _I  |`  A )  Fn  A ) )
61, 4, 5mpbir2an 911 1  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    _I cid 4631   `'ccnv 4839    |` cres 4842    Fn wfn 5413   -1-1-onto->wf1o 5417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-br 4293  df-opab 4351  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425
This theorem is referenced by:  f1ovi  5677  fveqf1o  6000  isoid  6020  enrefg  7341  ssdomg  7355  hartogslem1  7756  wdomref  7787  infxpenc  8184  infxpencOLD  8189  pwfseqlem5  8830  dfle2  11124  wunndx  14190  idfucl  14791  idffth  14843  ressffth  14848  setccatid  14952  idghm  15762  symggrp  15905  symgid  15906  idresperm  15914  islinds2  18242  lindfres  18252  lindsmm  18257  mdetunilem9  18426  ssidcn  18859  resthauslem  18967  sshauslem  18976  hausdiag  19218  idqtop  19279  fmid  19533  iducn  19858  mbfid  21114  dvid  21392  dvexp  21427  wilthlem2  22407  wilthlem3  22408  ausisusgra  23279  cusgraexilem2  23375  sizeusglecusglem1  23392  hoif  25158  idunop  25382  idcnop  25385  elunop2  25417  fcobijfs  26026  qqhre  26446  rrhre  26447  subfacp1lem4  27071  subfacp1lem5  27072  ghomsn  27307  mzpresrename  29087  eldioph2lem1  29098  eldioph2lem2  29099  diophren  29152  kelac2  29418  lnrfg  29475  idlaut  33740  tendoidcl  34413  tendo0co2  34432  erng1r  34639  dvalveclem  34670  dva0g  34672  dvh0g  34756
  Copyright terms: Public domain W3C validator