MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oeq1 Structured version   Unicode version

Theorem f1oeq1 5798
Description: Equality theorem for one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
f1oeq1  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A -1-1-onto-> B  <->  G : A -1-1-onto-> B ) )

Proof of Theorem f1oeq1
StepHypRef Expression
1 f1eq1 5767 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  G : A -1-1-> B ) )
2 foeq1 5782 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A -onto-> B  <->  G : A -onto-> B ) )
31, 2anbi12d 710 . 2  |-  ( F  =  G  ->  (
( F : A -1-1-> B  /\  F : A -onto-> B )  <->  ( G : A -1-1-> B  /\  G : A -onto-> B ) ) )
4 df-f1o 5586 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  <->  ( F : A -1-1-> B  /\  F : A -onto-> B ) )
5 df-f1o 5586 . 2  |-  ( G : A -1-1-onto-> B  <->  ( G : A -1-1-> B  /\  G : A -onto-> B ) )
63, 4, 53bitr4g 288 1  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A -1-1-onto-> B  <->  G : A -1-1-onto-> B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374   -1-1->wf1 5576   -onto->wfo 5577   -1-1-onto->wf1o 5578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-rab 2816  df-v 3108  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-br 4441  df-opab 4499  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586
This theorem is referenced by:  f1oeq123d  5804  f1ocnvb  5820  f1orescnv  5822  resin  5828  f1ovi  5843  f1osng  5845  f1oresrab  6044  fsn  6050  fveqf1o  6184  isoeq1  6194  f1oexbi  6724  oacomf1o  7204  mapsn  7450  mapsnf1o3  7457  f1oen3g  7521  ensn1  7569  xpcomf1o  7596  omf1o  7610  enfixsn  7616  domss2  7666  php3  7693  isinf  7723  ssfi  7730  oef1o  8130  oef1oOLD  8131  cnfcomlem  8132  cnfcom  8133  cnfcom2  8135  cnfcom3  8137  cnfcom3clem  8138  cnfcomlemOLD  8140  cnfcomOLD  8141  cnfcom2OLD  8143  cnfcom3OLD  8145  cnfcom3clemOLD  8146  infxpenc  8384  infxpenc2lem2  8386  infxpenc2  8388  infxpencOLD  8389  infxpenc2lem2OLD  8390  infxpenc2OLD  8392  ackbij2lem2  8609  ackbij2  8612  canthp1lem2  9020  pwfseqlem5  9030  pwfseq  9031  seqf1olem2  12103  seqf1o  12104  hasheqf1oi  12379  hashf1rn  12380  hashfacen  12456  wrd2f1tovbij  12848  summo  13488  fsum  13491  ackbijnn  13592  bitsf1ocnv  13942  sadcaddlem  13955  unbenlem  14274  setcinv  15264  yonffthlem  15398  grplactcnv  15932  eqgen  16042  isgim  16098  elsymgbas2  16194  symg1bas  16209  cayleyth  16228  gsumval3eu  16691  gsumval3OLD  16692  gsumval3lem1  16693  gsumval3lem2  16694  islmim  17484  coe1mul2lem2  18073  znunithash  18363  uvcendim  18642  mdet0f1o  18855  tgpconcompeqg  20338  resinf1o  22649  efif1olem4  22658  logf1o  22673  relogf1o  22675  dvlog  22753  isismt  23642  nbgraf1o0  24108  cusgrafilem3  24143  wlknwwlknbij2  24376  wlkiswwlkbij2  24383  wwlkextbij  24395  wlknwwlknvbij  24402  clwwlkbij  24461  clwwlkvbij  24463  clwlksizeeq  24514  iseupa  24627  eupares  24637  eupap1  24638  frgrancvvdeqlem9  24704  numclwlk1lem2  24760  numclwwlk2lem3  24769  hoif  26335  fcobijfs  27207  fpwrelmapffs  27215  indf1o  27663  eulerpartlem1  27932  eulerpartgbij  27937  eulerpart  27947  derangenlem  28241  subfacp1lem2a  28250  subfacp1lem3  28252  subfacp1lem5  28254  subfacp1lem6  28255  subfacp1  28256  elgiso  28497  prodmo  28631  fprod  28636  isismty  29887  ismrer1  29924  isrngoiso  29971  eldioph2lem1  30284  pwfi2f1o  30637  islaut  34754  ispautN  34770  hvmap1o  36435
  Copyright terms: Public domain W3C validator