Theorem f1oen2g 5453

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. This variation of f1oeng 5454 does not require the Axiom of Replacement.

Assertion

Ref	Expression
f1oen2g	|- ((F e. C /\ F:A-1-1-onto->B) -> A ~~ B)

Proof of Theorem f1oen2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmfex 4598	. . 3 |- ((F e. C /\ F:A-->B) -> A e. _V)
2		f1of 4635	. . 3 |- (F:A-1-1-onto->B -> F:A-->B)
3	1, 2	sylan2 500	. 2 |- ((F e. C /\ F:A-1-1-onto->B) -> A e. _V)
4		f1oeq1 4630	. . . 4 |- (f = F -> (f:A-1-1-onto->B <-> F:A-1-1-onto->B))
5	4	cla4egv 2365	. . 3 |- (F e. C -> (F:A-1-1-onto->B -> E.f f:A-1-1-onto->B))
6	5	imp 377	. 2 |- ((F e. C /\ F:A-1-1-onto->B) -> E.f f:A-1-1-onto->B)
7		brprc 3386	. . . . . 6 |- (-. B e. _V -> (A ~~ B <-> A ~~ A))
8		enrefg 5449	. . . . . 6 |- (A e. _V -> A ~~ A)
9	7, 8	syl5bir 227	. . . . 5 |- (-. B e. _V -> (A e. _V -> A ~~ B))
10	9	a1d 15	. . . 4 |- (-. B e. _V -> (E.f f:A-1-1-onto->B -> (A e. _V -> A ~~ B)))
11	10	com3r 39	. . 3 |- (A e. _V -> (-. B e. _V -> (E.f f:A-1-1-onto->B -> A ~~ B)))
12		breng 5434	. . . 4 |- (B e. _V -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))
13	12	biimprd 171	. . 3 |- (B e. _V -> (E.f f:A-1-1-onto->B -> A ~~ B))
14	11, 13	pm2.61d2 143	. 2 |- (A e. _V -> (E.f f:A-1-1-onto->B -> A ~~ B))
15	3, 6, 14	sylc 83	1 |- ((F e. C /\ F:A-1-1-onto->B) -> A ~~ B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  -->wf 3994  -1-1-onto->wf1o 3997   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  f1oeng 5454

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-en 5427

Copyright terms: Public domain