Theorem f1oen 5457

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous.

Hypothesis

Ref	Expression
f1oen.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
f1oen	|- (F:A-1-1-onto->B -> A ~~ B)

Proof of Theorem f1oen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oen.1	. 2 |- A e. _V
2		f1oeng 5454	. 2 |- ((A e. _V /\ F:A-1-1-onto->B) -> A ~~ B)
3	1, 2	mpan 759	1 |- (F:A-1-1-onto->B -> A ~~ B)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  -1-1-onto->wf1o 3997   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  idssen 5465  ener 5469  f1imaen 5481  sbthlem10 5519  mapen 5585  phplem2 5603  phplem4 5605  pssnn 5628  unifi 5648  fiint 5650  nnenom 8767  infxpidmlem12 8832  finsschain 15373  compfipin0lem 15435  compfipin0 15436  fcluscomplem 15620

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-en 5427

Copyright terms: Public domain