MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oen Structured version   Unicode version

Theorem f1oen 7526
Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oen.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
f1oen  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  A  ~~  B )

Proof of Theorem f1oen
StepHypRef Expression
1 f1oen.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 f1oeng 7524 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  A  ~~  B )
31, 2mpan 670 1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  A  ~~  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   class class class wbr 4440   -1-1-onto->wf1o 5578    ~~ cen 7503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-en 7507
This theorem is referenced by:  mapfien2  7857  infxpenlem  8380  dfac8alem  8399  dfac12lem2  8513  dfac12lem3  8514  r1om  8613  axcc2lem  8805  summolem3  13485  summolem2a  13486  summolem2  13487  zsum  13489  cpnnen  13812  eulerthlem2  14160  4sqlem11  14321  gicen  16113  orbsta2  16140  odhash  16383  odhash2  16384  sylow1lem2  16408  sylow2blem1  16429  znhash  18357  basellem5  23079  eupafi  24633  ballotlemfrc  27955  ballotlem8  27965  erdszelem10  28134  prodmolem3  28492  prodmolem2a  28493  prodmolem2  28494  zprod  28496  mapfien2OLD  30499  pwfi2en  30502  hashgcdeq  30616
  Copyright terms: Public domain W3C validator