MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oen Structured version   Unicode version

Theorem f1oen 7322
Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oen.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
f1oen  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  A  ~~  B )

Proof of Theorem f1oen
StepHypRef Expression
1 f1oen.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 f1oeng 7320 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  A  ~~  B )
31, 2mpan 670 1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  A  ~~  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   class class class wbr 4287   -1-1-onto->wf1o 5412    ~~ cen 7299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-en 7303
This theorem is referenced by:  mapfien2  7650  infxpenlem  8172  dfac8alem  8191  dfac12lem2  8305  dfac12lem3  8306  r1om  8405  axcc2lem  8597  summolem3  13183  summolem2a  13184  summolem2  13185  zsum  13187  cpnnen  13503  eulerthlem2  13849  4sqlem11  14008  gicen  15796  orbsta2  15823  odhash  16064  odhash2  16065  sylow1lem2  16089  sylow2blem1  16110  znhash  17971  basellem5  22402  eupafi  23560  ballotlemfrc  26878  ballotlem8  26888  erdszelem10  27057  prodmolem3  27415  prodmolem2a  27416  prodmolem2  27417  zprod  27419  mapfien2OLD  29420  pwfi2en  29423  hashgcdeq  29537
  Copyright terms: Public domain W3C validator