MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oen Structured version   Unicode version

Theorem f1oen 7430
Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oen.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
f1oen  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  A  ~~  B )

Proof of Theorem f1oen
StepHypRef Expression
1 f1oen.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 f1oeng 7428 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  A  ~~  B )
31, 2mpan 670 1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  A  ~~  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   _Vcvv 3068   class class class wbr 4390   -1-1-onto->wf1o 5515    ~~ cen 7407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-en 7411
This theorem is referenced by:  mapfien2  7759  infxpenlem  8281  dfac8alem  8300  dfac12lem2  8414  dfac12lem3  8415  r1om  8514  axcc2lem  8706  summolem3  13293  summolem2a  13294  summolem2  13295  zsum  13297  cpnnen  13613  eulerthlem2  13959  4sqlem11  14118  gicen  15907  orbsta2  15934  odhash  16177  odhash2  16178  sylow1lem2  16202  sylow2blem1  16223  znhash  18100  basellem5  22538  eupafi  23727  ballotlemfrc  27043  ballotlem8  27053  erdszelem10  27222  prodmolem3  27580  prodmolem2a  27581  prodmolem2  27582  zprod  27584  mapfien2OLD  29587  pwfi2en  29590  hashgcdeq  29704
  Copyright terms: Public domain W3C validator