MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oen Structured version   Unicode version

Theorem f1oen 7574
Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oen.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
f1oen  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  A  ~~  B )

Proof of Theorem f1oen
StepHypRef Expression
1 f1oen.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 f1oeng 7572 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  A  ~~  B )
31, 2mpan 668 1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  A  ~~  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   class class class wbr 4395   -1-1-onto->wf1o 5568    ~~ cen 7551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-en 7555
This theorem is referenced by:  mapfien2  7902  infxpenlem  8423  dfac8alem  8442  dfac12lem2  8556  dfac12lem3  8557  r1om  8656  axcc2lem  8848  summolem3  13685  summolem2a  13686  summolem2  13687  zsum  13689  prodmolem3  13892  prodmolem2a  13893  prodmolem2  13894  zprod  13896  cpnnen  14171  eulerthlem2  14521  4sqlem11  14682  gicen  16649  orbsta2  16676  odhash  16918  odhash2  16919  sylow1lem2  16943  sylow2blem1  16964  znhash  18895  basellem5  23739  eupafi  25388  ballotlemfrc  28971  ballotlem8  28981  erdszelem10  29497  mapfien2OLD  35404  pwfi2en  35408  pwfi2enOLD  35409  hashgcdeq  35522  aacllem  38860
  Copyright terms: Public domain W3C validator