MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ococnv1 Structured version   Unicode version

Theorem f1ococnv1 5842
Description: The composition of a one-to-one onto function's converse and itself equals the identity relation restricted to the function's domain. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
f1ococnv1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )

Proof of Theorem f1ococnv1
StepHypRef Expression
1 f1orel 5817 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  Rel  F )
2 dfrel2 5455 . . . 4  |-  ( Rel 
F  <->  `' `' F  =  F
)
31, 2sylib 196 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' `' F  =  F )
43coeq2d 5163 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  `' `' F )  =  ( `' F  o.  F
) )
5 f1ocnv 5826 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
6 f1ococnv2 5840 . . 3  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  -> 
( `' F  o.  `' `' F )  =  (  _I  |`  A )
)
75, 6syl 16 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  `' `' F )  =  (  _I  |`  A )
)
84, 7eqtr3d 2510 1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    _I cid 4790   `'ccnv 4998    |` cres 5001    o. ccom 5003   Rel wrel 5004   -1-1-onto->wf1o 5585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593
This theorem is referenced by:  f1cocnv1  5843  f1ocnvfv1  6168  fcof1oinvd  6182  mapen  7678  mapfien  7863  mapfienOLD  8134  hashfacen  12465  setcinv  15271  catcisolem  15287  symggrp  16220  f1omvdco2  16269  pf1mpf  18159  ufldom  20198  motgrp  23658  fcobij  27220  subfacp1lem5  28268  ltrncoidN  34924  trlcoabs2N  35518  trlcoat  35519  trlcone  35524  cdlemg47  35532  tgrpgrplem  35545  tendoipl  35593  cdlemi2  35615  cdlemk2  35628  cdlemk4  35630  cdlemk8  35634  tendocnv  35818  dvhgrp  35904  cdlemn8  36001  dihopelvalcpre  36045
  Copyright terms: Public domain W3C validator