MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ococnv1 Structured version   Unicode version

Theorem f1ococnv1 5826
Description: The composition of a one-to-one onto function's converse and itself equals the identity relation restricted to the function's domain. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
f1ococnv1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )

Proof of Theorem f1ococnv1
StepHypRef Expression
1 f1orel 5801 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  Rel  F )
2 dfrel2 5273 . . . 4  |-  ( Rel 
F  <->  `' `' F  =  F
)
31, 2sylib 196 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' `' F  =  F )
43coeq2d 4985 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  `' `' F )  =  ( `' F  o.  F
) )
5 f1ocnv 5810 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
6 f1ococnv2 5824 . . 3  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  -> 
( `' F  o.  `' `' F )  =  (  _I  |`  A )
)
75, 6syl 17 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  `' `' F )  =  (  _I  |`  A )
)
84, 7eqtr3d 2445 1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    _I cid 4732   `'ccnv 4821    |` cres 4824    o. ccom 4826   Rel wrel 4827   -1-1-onto->wf1o 5567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-br 4395  df-opab 4453  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575
This theorem is referenced by:  f1cocnv1  5827  f1ocnvfv1  6162  fcof1oinvd  6178  mapen  7718  mapfien  7900  mapfienOLD  8169  hashfacen  12550  setcinv  15691  catcisolem  15707  symggrp  16747  f1omvdco2  16795  pf1mpf  18706  ufldom  20753  motgrp  24311  fcobij  27981  subfacp1lem5  29468  ltrncoidN  33125  trlcoabs2N  33721  trlcoat  33722  trlcone  33727  cdlemg47  33735  tgrpgrplem  33748  tendoipl  33796  cdlemi2  33818  cdlemk2  33831  cdlemk4  33833  cdlemk8  33837  tendocnv  34021  dvhgrp  34107  cdlemn8  34204  dihopelvalcpre  34248  rngcinv  38281  rngcinvALTV  38293  ringcinv  38332  ringcinvALTV  38356
  Copyright terms: Public domain W3C validator