MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv2 Structured version   Unicode version

Theorem f1ocnvfv2 6169
Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  C ) )  =  C )

Proof of Theorem f1ocnvfv2
StepHypRef Expression
1 f1ococnv2 5840 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  B )
)
21fveq1d 5866 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( ( F  o.  `' F
) `  C )  =  ( (  _I  |`  B ) `  C
) )
32adantr 465 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( ( F  o.  `' F ) `  C
)  =  ( (  _I  |`  B ) `  C ) )
4 f1ocnv 5826 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
5 f1of 5814 . . . 4  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  ->  `' F : B --> A )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B --> A )
7 fvco3 5942 . . 3  |-  ( ( `' F : B --> A  /\  C  e.  B )  ->  ( ( F  o.  `' F ) `  C
)  =  ( F `
 ( `' F `  C ) ) )
86, 7sylan 471 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( ( F  o.  `' F ) `  C
)  =  ( F `
 ( `' F `  C ) ) )
9 fvresi 6085 . . 3  |-  ( C  e.  B  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 C )  =  C )
109adantl 466 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( (  _I  |`  B ) `
 C )  =  C )
113, 8, 103eqtr3d 2516 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  C ) )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    _I cid 4790   `'ccnv 4998    |` cres 5001    o. ccom 5003   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594
This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  6171  fveqf1o  6191  isocnv  6212  f1oiso2  6234  weniso  6236  ordiso2  7936  cantnfle  8086  cantnfp1lem3  8095  cantnflem1b  8101  cantnflem1d  8103  cantnflem1  8104  cantnfleOLD  8116  cantnfp1lem3OLD  8121  cantnflem1bOLD  8124  cantnflem1dOLD  8126  cantnflem1OLD  8127  cnfcom2lem  8141  cnfcom2  8142  cnfcom3lem  8143  cnfcom2lemOLD  8149  cnfcom2OLD  8150  cnfcom3lemOLD  8151  acndom2  8431  iunfictbso  8491  ttukeylem7  8891  fpwwe2lem6  9009  fpwwe2lem7  9010  uzrdglem  12031  uzrdgsuci  12034  fzennn  12041  axdc4uzlem  12055  seqf1olem1  12109  seqf1olem2  12110  hashfz1  12381  seqcoll  12472  seqcoll2  12473  summolem3  13492  summolem2a  13493  ackbijnn  13596  sadcaddlem  13959  sadaddlem  13968  sadasslem  13972  sadeq  13974  phimullem  14161  eulerthlem2  14164  catcisolem  15284  mhmf1o  15783  ghmf1o  16088  f1omvdconj  16264  gsumval3eu  16695  gsumval3OLD  16696  gsumval3  16699  lmhmf1o  17472  fidomndrnglem  17723  basqtop  19944  tgqtop  19945  ordthmeolem  20034  symgtgp  20332  imasf1obl  20723  xrhmeo  21178  ovoliunlem2  21646  vitalilem2  21750  dvcnvlem  22109  dvcnv  22110  dvcnvre  22152  efif1olem4  22662  eff1olem  22665  eflog  22689  dvrelog  22743  dvlog  22757  asinrebnd  22957  sqff1o  23181  lgsqrlem4  23344  cnvmot  23653  f1otrg  23847  f1otrge  23848  axcontlem10  23949  nbgracnvfv  24113  cusgrares  24145  usgra2adedgspthlem1  24284  constr3trllem5  24327  cusconngra  24349  wlkiswwlk2lem4  24367  clwlkisclwwlklem2a4  24457  2pthfrgra  24684  cnvunop  26510  unopadj  26511  bracnvbra  26705  abliso  27345  mndpluscn  27541  cvmfolem  28361  cvmliftlem6  28372  prodmolem3  28639  prodmolem2a  28640  f1ocan1fv  29818  ismtycnv  29899  ismtyima  29900  ismtybndlem  29903  rngoisocnv  29985  rmxyval  30453  usgra2adedglem1  31825  lautcnvle  34885  lautcvr  34888  lautj  34889  lautm  34890  ltrncnvatb  34934  ltrncnvel  34938  ltrncnv  34942  ltrneq2  34944  cdlemg17h  35464  diainN  35854  diasslssN  35856  doca3N  35924  dihcnvid2  36070  dochocss  36163  mapdcnvid2  36454
  Copyright terms: Public domain W3C validator