Theorem f1ocnvfv2 3955

Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function.

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv2	|- ((F:A-1-1-onto->B /\ C e. B) -> (F` (`'F` C)) = C)

Proof of Theorem f1ocnvfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv2 3784	. . . 4 |- (F:A-1-1-onto->B -> (F o. `'F) = (I |` B))
2	1	fveq1d 3802	. . 3 |- (F:A-1-1-onto->B -> ((F o. `'F)` C) = ((I |` B)` C))
3	2	adantr 389	. 2 |- ((F:A-1-1-onto->B /\ C e. B) -> ((F o. `'F)` C) = ((I |` B)` C))
4		fvco3 3852	. . . 4 |- ((Fun F /\ `'F:B-->A /\ C e. B) -> ((F o. `'F)` C) = (F` (`'F` C)))
5	4	3expa 836	. . 3 |- (((Fun F /\ `'F:B-->A) /\ C e. B) -> ((F o. `'F)` C) = (F` (`'F` C)))
6		f1ofun 3767	. . . 4 |- (F:A-1-1-onto->B -> Fun F)
7		f1ocnv 3777	. . . . 5 |- (F:A-1-1-onto->B -> `'F:B-1-1-onto->A)
8		f1of 3765	. . . . 5 |- (`'F:B-1-1-onto->A -> `'F:B-->A)
9	7, 8	syl 10	. . . 4 |- (F:A-1-1-onto->B -> `'F:B-->A)
10	6, 9	jca 286	. . 3 |- (F:A-1-1-onto->B -> (Fun F /\ `'F:B-->A))
11	5, 10	sylan 450	. 2 |- ((F:A-1-1-onto->B /\ C e. B) -> ((F o. `'F)` C) = (F` (`'F` C)))
12		fvresi 3919	. . 3 |- (C e. B -> ((I |` B)` C) = C)
13	12	adantl 388	. 2 |- ((F:A-1-1-onto->B /\ C e. B) -> ((I |` B)` C) = C)
14	3, 11, 13	3eqtr3d 1552	1 |- ((F:A-1-1-onto->B /\ C e. B) -> (F` (`'F` C)) = C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 988   e. wcel 990  Icid 2885  `'ccnv 3224   |` cres 3227   o. ccom 3229  Fun wfun 3231  -->wf 3233  -1-1-onto->wf1o 3236  ` cfv 3237

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb 3957  f1ocnvfv3 3959  isocnv 3972  uzrdgsuci 6597  effoi 8864  eflog 8879  cnvunop 9960  unopadj 9961  bracnvbra 10163

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-sep 2754  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-ral 1687  df-rex 1688  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-uni 2552  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253

Copyright terms: Public domain