MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv1 Structured version   Unicode version

Theorem f1ocnvfv1 5988
Description: The converse value of the value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )

Proof of Theorem f1ocnvfv1
StepHypRef Expression
1 f1ococnv1 5674 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )
21fveq1d 5698 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( ( `' F  o.  F
) `  C )  =  ( (  _I  |`  A ) `  C
) )
32adantr 465 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( `' F  o.  F ) `  C
)  =  ( (  _I  |`  A ) `  C ) )
4 f1of 5646 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A
--> B )
5 fvco3 5773 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( `' F  o.  F ) `  C
)  =  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )
64, 5sylan 471 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( `' F  o.  F ) `  C
)  =  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )
7 fvresi 5909 . . 3  |-  ( C  e.  A  ->  (
(  _I  |`  A ) `
 C )  =  C )
87adantl 466 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( (  _I  |`  A ) `
 C )  =  C )
93, 6, 83eqtr3d 2483 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    _I cid 4636   `'ccnv 4844    |` cres 4847    o. ccom 4849   -->wf 5419   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431
This theorem is referenced by:  f1ocnvfv  5990  wemapwe  7933  wemapweOLD  7934  fseqenlem2  8200  acndom  8226  isf34lem5  8552  axcc3  8612  pwfseqlem1  8830  hashdom  12147  fz1isolem  12219  cnrecnv  12659  sadcadd  13659  sadadd2  13661  invinv  14713  catcisolem  14979  mhmf1o  15478  srngnvl  16946  mdetleib2  18404  2ndcdisj  19065  cnheiborlem  20531  iunmbl2  21043  dvcnvlem  21453  eff1olem  22009  logef  22035  nbgraf1olem5  23359  adjbdlnb  25493  cnvbrabra  25521  tpr2rico  26347  lautj  33742  lautm  33743  ldilcnv  33764  ltrneq2  33797  trlcnv  33814  diaocN  34775  dihcnvid1  34922  dochocss  35016  mapdcnvid1N  35304
  Copyright terms: Public domain W3C validator