MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv1 Structured version   Unicode version

Theorem f1ocnvfv1 5980
Description: The converse value of the value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )

Proof of Theorem f1ocnvfv1
StepHypRef Expression
1 f1ococnv1 5666 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )
21fveq1d 5690 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( ( `' F  o.  F
) `  C )  =  ( (  _I  |`  A ) `  C
) )
32adantr 462 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( `' F  o.  F ) `  C
)  =  ( (  _I  |`  A ) `  C ) )
4 f1of 5638 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A
--> B )
5 fvco3 5765 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( `' F  o.  F ) `  C
)  =  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )
64, 5sylan 468 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( `' F  o.  F ) `  C
)  =  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )
7 fvresi 5901 . . 3  |-  ( C  e.  A  ->  (
(  _I  |`  A ) `
 C )  =  C )
87adantl 463 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( (  _I  |`  A ) `
 C )  =  C )
93, 6, 83eqtr3d 2481 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    _I cid 4627   `'ccnv 4835    |` cres 4838    o. ccom 4840   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423
This theorem is referenced by:  f1ocnvfv  5982  wemapwe  7924  wemapweOLD  7925  fseqenlem2  8191  acndom  8217  isf34lem5  8543  axcc3  8603  pwfseqlem1  8821  hashdom  12138  fz1isolem  12210  cnrecnv  12650  sadcadd  13650  sadadd2  13652  invinv  14704  catcisolem  14970  srngnvl  16921  mdetleib2  18358  2ndcdisj  19019  cnheiborlem  20485  iunmbl2  20997  dvcnvlem  21407  eff1olem  21963  logef  21989  nbgraf1olem5  23289  adjbdlnb  25423  cnvbrabra  25451  tpr2rico  26278  lautj  33459  lautm  33460  ldilcnv  33481  ltrneq2  33514  trlcnv  33531  diaocN  34492  dihcnvid1  34639  dochocss  34733  mapdcnvid1N  35021
  Copyright terms: Public domain W3C validator