MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv1 Structured version   Unicode version

Theorem f1ocnvfv1 6168
Description: The converse value of the value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )

Proof of Theorem f1ocnvfv1
StepHypRef Expression
1 f1ococnv1 5842 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )
21fveq1d 5866 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( ( `' F  o.  F
) `  C )  =  ( (  _I  |`  A ) `  C
) )
32adantr 465 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( `' F  o.  F ) `  C
)  =  ( (  _I  |`  A ) `  C ) )
4 f1of 5814 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A
--> B )
5 fvco3 5942 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( `' F  o.  F ) `  C
)  =  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )
64, 5sylan 471 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( `' F  o.  F ) `  C
)  =  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )
7 fvresi 6085 . . 3  |-  ( C  e.  A  ->  (
(  _I  |`  A ) `
 C )  =  C )
87adantl 466 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( (  _I  |`  A ) `
 C )  =  C )
93, 6, 83eqtr3d 2516 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    _I cid 4790   `'ccnv 4998    |` cres 5001    o. ccom 5003   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594
This theorem is referenced by:  f1ocnvfv  6170  wemapwe  8135  wemapweOLD  8136  fseqenlem2  8402  acndom  8428  isf34lem5  8754  axcc3  8814  pwfseqlem1  9032  hashdom  12411  fz1isolem  12472  cnrecnv  12957  sadcadd  13963  sadadd2  13965  invinv  15021  catcisolem  15287  mhmf1o  15786  srngnvl  17288  mdetleib2  18857  2ndcdisj  19723  cnheiborlem  21189  iunmbl2  21702  dvcnvlem  22112  eff1olem  22668  logef  22694  nbgraf1olem5  24121  adjbdlnb  26679  cnvbrabra  26707  tpr2rico  27530  lautj  34889  lautm  34890  ldilcnv  34911  ltrneq2  34944  trlcnv  34961  diaocN  35922  dihcnvid1  36069  dochocss  36163  mapdcnvid1N  36451
  Copyright terms: Public domain W3C validator