MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvdm Structured version   Unicode version

Theorem f1ocnvdm 5986
Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvdm  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( `' F `  C )  e.  A
)

Proof of Theorem f1ocnvdm
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5650 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
2 f1of 5638 . . 3  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  ->  `' F : B --> A )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B --> A )
43ffvelrnda 5840 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( `' F `  C )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1761   `'ccnv 4835   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423
This theorem is referenced by:  f1oiso2  6040  f1ocnvfv3  6085  uzrdglem  11776  uzrdgsuci  11779  fzennn  11786  cardfz  11788  fzfi  11790  iunmbl2  20997  f1otrg  23052  axcontlem10  23154  nbgraf1olem3  23287  nbgraf1olem5  23289  cusgrares  23315  constr3trllem1  23471  cnvbraval  25449  cnvbracl  25450  mndpluscn  26292  ismtycnv  28626  rngoisocnv  28712  rmxyelxp  29178  usgra2adedglem1  30233  wlkiswwlk2lem5  30254  clwlkisclwwlklem2a  30372  lautcnvclN  33454  lautcnvle  33455  lautcvr  33458  lautj  33459  lautm  33460  ltrncnvatb  33504  diacnvclN  34418  dihcnvcl  34638  dihlspsnat  34700  dihglblem6  34707  dochocss  34733  dochnoncon  34758  mapdcnvcl  35019
  Copyright terms: Public domain W3C validator