MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvdm Structured version   Unicode version

Theorem f1ocnvdm 6001
Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvdm  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( `' F `  C )  e.  A
)

Proof of Theorem f1ocnvdm
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5665 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
2 f1of 5653 . . 3  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  ->  `' F : B --> A )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B --> A )
43ffvelrnda 5855 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( `' F `  C )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   `'ccnv 4851   -->wf 5426   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pr 4543
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438
This theorem is referenced by:  f1oiso2  6055  f1ocnvfv3  6099  uzrdglem  11792  uzrdgsuci  11795  fzennn  11802  cardfz  11804  fzfi  11806  iunmbl2  21050  f1otrg  23129  axcontlem10  23231  nbgraf1olem3  23364  nbgraf1olem5  23366  cusgrares  23392  constr3trllem1  23548  cnvbraval  25526  cnvbracl  25527  mndpluscn  26368  ismtycnv  28713  rngoisocnv  28799  rmxyelxp  29265  usgra2adedglem1  30320  wlkiswwlk2lem5  30341  clwlkisclwwlklem2a  30459  lautcnvclN  33744  lautcnvle  33745  lautcvr  33748  lautj  33749  lautm  33750  ltrncnvatb  33794  diacnvclN  34708  dihcnvcl  34928  dihlspsnat  34990  dihglblem6  34997  dochocss  35023  dochnoncon  35048  mapdcnvcl  35309
  Copyright terms: Public domain W3C validator