MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnv Structured version   Unicode version

Theorem f1ocnv 5828
Description: The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnv  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )

Proof of Theorem f1ocnv
StepHypRef Expression
1 fnrel 5679 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  Rel  F )
2 dfrel2 5457 . . . . . 6  |-  ( Rel 
F  <->  `' `' F  =  F
)
3 fneq1 5669 . . . . . . 7  |-  ( `' `' F  =  F  ->  ( `' `' F  Fn  A  <->  F  Fn  A
) )
43biimprd 223 . . . . . 6  |-  ( `' `' F  =  F  ->  ( F  Fn  A  ->  `' `' F  Fn  A
) )
52, 4sylbi 195 . . . . 5  |-  ( Rel 
F  ->  ( F  Fn  A  ->  `' `' F  Fn  A )
)
61, 5mpcom 36 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  `' `' F  Fn  A
)
76anim2i 569 . . 3  |-  ( ( `' F  Fn  B  /\  F  Fn  A
)  ->  ( `' F  Fn  B  /\  `' `' F  Fn  A
) )
87ancoms 453 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  `' F  Fn  B
)  ->  ( `' F  Fn  B  /\  `' `' F  Fn  A
) )
9 dff1o4 5824 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  <->  ( F  Fn  A  /\  `' F  Fn  B ) )
10 dff1o4 5824 . 2  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  <->  ( `' F  Fn  B  /\  `' `' F  Fn  A
) )
118, 9, 103imtr4i 266 1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   `'ccnv 4998   Rel wrel 5004    Fn wfn 5583   -1-1-onto->wf1o 5587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595
This theorem is referenced by:  f1ocnvb  5829  f1orescnv  5831  f1imacnv  5832  f1cnv  5839  f1ococnv1  5844  f1oresrab  6053  f1ocnvfv2  6171  f1ocnvdm  6176  f1ocnvfvrneq  6177  fcof1oinvd  6184  fveqf1o  6193  isocnv  6214  weniso  6238  f1ofveu  6279  f1oexrnex  6733  f1oexbi  6734  fnwelem  6898  oacomf1o  7214  mapsnf1o3  7467  ener  7562  en0  7578  en1  7582  omf1o  7620  domss2  7676  mapen  7681  ssenen  7691  f1fi  7807  f1opwfi  7824  mapfienlem2  7865  mapfienlem3  7866  mapfien  7867  mapfien2  7868  ordiso2  7940  unxpwdom2  8014  cantnfle  8090  cantnfp1lem3  8099  cantnflem1b  8105  cantnflem1d  8107  cantnflem1  8108  cantnfleOLD  8120  cantnfp1lem3OLD  8125  cantnflem1bOLD  8128  cantnflem1dOLD  8130  cantnflem1OLD  8131  mapfienOLD  8138  wemapwe  8139  wemapweOLD  8140  oef1o  8141  oef1oOLD  8142  cnfcomlem  8143  cnfcom  8144  cnfcom2lem  8145  cnfcom2  8146  cnfcom3lem  8147  cnfcom3  8148  cnfcomlemOLD  8151  cnfcomOLD  8152  cnfcom2lemOLD  8153  cnfcom2OLD  8154  cnfcom3lemOLD  8155  cnfcom3OLD  8156  infxpenlem  8391  infxpenc  8395  infxpencOLD  8400  dfac8b  8412  acndom  8432  acndom2  8435  iunfictbso  8495  dfac12lem2  8524  infpssrlem3  8685  infpssrlem4  8686  fin1a2lem7  8786  axcc3  8818  ttukeylem7  8895  fpwwe2lem6  9013  fpwwe2lem7  9014  pwfseqlem5  9041  axdc4uzlem  12060  seqf1olem1  12114  seqf1olem2  12115  hashfacen  12469  seqcoll  12478  seqcoll2  12479  cnrecnv  12961  isercolllem2  13451  isercoll  13453  summolem3  13499  summolem2a  13500  ackbijnn  13603  sadcaddlem  13966  sadadd2lem  13968  sadadd3  13970  sadaddlem  13975  sadasslem  13979  sadeq  13981  phimullem  14168  eulerthlem2  14171  unbenlem  14285  1arith2  14305  xpsbas  14829  xpsadd  14831  xpsmul  14832  xpssca  14833  xpsvsca  14834  xpsless  14835  xpsle  14836  setcinv  15275  catcisolem  15291  xpsmnd  15779  mhmf1o  15795  xpsgrp  15999  ghmf1o  16101  symggrp  16230  symginv  16232  f1omvdcnv  16275  f1omvdconj  16277  pmtrfconj  16297  odngen  16403  gsumval3eu  16710  gsumval3OLD  16711  gsumval3  16714  gsumzf1o  16720  gsumzf1oOLD  16723  lmhmf1o  17492  fidomndrnglem  17754  psrass1lem  17828  coe1sfi  18051  coe1sfiOLD  18052  znleval  18388  zntoslem  18390  znunithash  18398  mdetleib2  18885  basqtop  19975  tgqtop  19976  reghmph  20057  indishmph  20062  cmphaushmeo  20064  ordthmeolem  20065  txhmeo  20067  xpstps  20074  xpstopnlem2  20075  qtopf1  20080  ufldom  20226  symgtgp  20363  tgpconcompeqg  20373  xpsdsfn  20643  xpsxmet  20646  xpsdsval  20647  xpsmet  20648  imasf1obl  20754  xpsxms  20800  xpsms  20801  iccpnfcnv  21207  xrhmeo  21209  ovoliunlem2  21677  vitalilem2  21781  mbfimaopnlem  21825  dvcnvlem  22140  dvcnv  22141  dvcnvrelem2  22182  dvcnvre  22183  efif1olem4  22693  eff1olem  22696  logrn  22702  logf1o  22708  dvlog  22788  asinrebnd  22988  sqff1o  23212  lgsqrlem4  23375  cnvmot  23684  f1otrg  23878  f1otrge  23879  cnvunop  26541  unopadj  26542  fcobij  27248  abliso  27376  tpr2rico  27558  derangenlem  28283  subfacp1lem4  28295  cvmfolem  28392  cvmliftlem6  28403  prodmolem3  28670  prodmolem2a  28671  f1ocan1fv  29848  f1ocan2fv  29849  ismtycnv  29929  ismtyima  29930  ismtyhmeolem  29931  ismtybndlem  29933  rngoisocnv  30015  eldioph2  30327  kelac1  30641  mapfien2OLD  30674  lautcnv  34904  cdlemk45  35761  cdlemn9  36020
  Copyright terms: Public domain W3C validator