Theorem f1ocan2fv 15718

Description: Cancel a composition by the converse of a bijection by preapplying the bijection.

Assertion

Ref	Expression
f1ocan2fv	|- ((Fun F /\ G:A-1-1-onto->B /\ X e. A) -> ((F o. `'G)` (G` X)) = (F` X))

Proof of Theorem f1ocan2fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofun 4637	. . . . . 6 |- (G:A-1-1-onto->B -> Fun G)
2		funrel 4438	. . . . . 6 |- (Fun G -> Rel G)
3		dfrel2 4358	. . . . . . 7 |- (Rel G <-> `'`'G = G)
4	3	biimpi 168	. . . . . 6 |- (Rel G -> `'`'G = G)
5	1, 2, 4	3syl 24	. . . . 5 |- (G:A-1-1-onto->B -> `'`'G = G)
6	5	3ad2ant2 898	. . . 4 |- ((Fun F /\ G:A-1-1-onto->B /\ X e. A) -> `'`'G = G)
7	6	fveq1d 4683	. . 3 |- ((Fun F /\ G:A-1-1-onto->B /\ X e. A) -> (`'`'G` X) = (G` X))
8	7	fveq2d 4685	. 2 |- ((Fun F /\ G:A-1-1-onto->B /\ X e. A) -> ((F o. `'G)` (`'`'G` X)) = ((F o. `'G)` (G` X)))
9		f1ocan1fv 15717	. . 3 |- ((Fun F /\ `'G:B-1-1-onto->A /\ X e. A) -> ((F o. `'G)` (`'`'G` X)) = (F` X))
10		f1ocnv 4651	. . 3 |- (G:A-1-1-onto->B -> `'G:B-1-1-onto->A)
11	9, 10	syl3an2 1131	. 2 |- ((Fun F /\ G:A-1-1-onto->B /\ X e. A) -> ((F o. `'G)` (`'`'G` X)) = (F` X))
12	8, 11	eqtr3d 1927	1 |- ((Fun F /\ G:A-1-1-onto->B /\ X e. A) -> ((F o. `'G)` (G` X)) = (F` X))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  `'ccnv 3985   o. ccom 3990  Rel wrel 3991  Fun wfun 3992  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain