MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1o2sn Structured version   Unicode version

Theorem f1o2sn 6053
Description: A singleton with a nested ordered pair is a 1-1 function of the cartesian product of two singleton onto a singleton. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
f1o2sn  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } :
( { E }  X.  { E } ) -1-1-onto-> { X } )

Proof of Theorem f1o2sn
StepHypRef Expression
1 opex 4654 . . 3  |-  <. E ,  E >.  e.  _V
2 simpr 459 . . 3  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  X  e.  W )
3 f1osng 5836 . . 3  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  X  e.  W )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X } )
41, 2, 3sylancr 661 . 2  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X } )
5 xpsng 6051 . . . . . 6  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
65anidms 643 . . . . 5  |-  ( E  e.  V  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
76eqcomd 2410 . . . 4  |-  ( E  e.  V  ->  { <. E ,  E >. }  =  ( { E }  X.  { E } ) )
87adantr 463 . . 3  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  { <. E ,  E >. }  =  ( { E }  X.  { E } ) )
9 f1oeq2 5790 . . 3  |-  ( {
<. E ,  E >. }  =  ( { E }  X.  { E }
)  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X }  <->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : ( { E }  X.  { E }
)
-1-1-onto-> { X } ) )
108, 9syl 17 . 2  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X }  <->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : ( { E }  X.  { E }
)
-1-1-onto-> { X } ) )
114, 10mpbid 210 1  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } :
( { E }  X.  { E } ) -1-1-onto-> { X } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058   {csn 3971   <.cop 3977    X. cxp 4820   -1-1-onto->wf1o 5567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575
This theorem is referenced by:  mat1dimelbas  19263
  Copyright terms: Public domain W3C validator