Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  f1o2sn Structured version   Unicode version

Theorem f1o2sn 30849
Description: A singleton with a nested ordered pair is a 1-1 function of the cartesian product of two singleton onto a singleton. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
f1o2sn  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } :
( { E }  X.  { E } ) -1-1-onto-> { X } )

Proof of Theorem f1o2sn
StepHypRef Expression
1 opex 4640 . . 3  |-  <. E ,  E >.  e.  _V
2 simpr 461 . . 3  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  X  e.  W )
3 f1osng 5763 . . 3  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  X  e.  W )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X } )
41, 2, 3sylancr 663 . 2  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X } )
5 xpsng 5969 . . . . . 6  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
65anidms 645 . . . . 5  |-  ( E  e.  V  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
76eqcomd 2457 . . . 4  |-  ( E  e.  V  ->  { <. E ,  E >. }  =  ( { E }  X.  { E } ) )
87adantr 465 . . 3  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  { <. E ,  E >. }  =  ( { E }  X.  { E } ) )
9 f1oeq2 5717 . . 3  |-  ( {
<. E ,  E >. }  =  ( { E }  X.  { E }
)  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X }  <->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : ( { E }  X.  { E }
)
-1-1-onto-> { X } ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X }  <->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : ( { E }  X.  { E }
)
-1-1-onto-> { X } ) )
114, 10mpbid 210 1  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } :
( { E }  X.  { E } ) -1-1-onto-> { X } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757   _Vcvv 3054   {csn 3961   <.cop 3967    X. cxp 4922   -1-1-onto->wf1o 5501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pr 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509
This theorem is referenced by:  mat1dimelbas  31007
  Copyright terms: Public domain W3C validator