MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1o2sn Structured version   Unicode version

Theorem f1o2sn 6062
Description: A singleton with a nested ordered pair is a 1-1 function of the cartesian product of two singleton onto a singleton. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
f1o2sn  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } :
( { E }  X.  { E } ) -1-1-onto-> { X } )

Proof of Theorem f1o2sn
StepHypRef Expression
1 opex 4711 . . 3  |-  <. E ,  E >.  e.  _V
2 simpr 461 . . 3  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  X  e.  W )
3 f1osng 5852 . . 3  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  X  e.  W )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X } )
41, 2, 3sylancr 663 . 2  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X } )
5 xpsng 6060 . . . . . 6  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
65anidms 645 . . . . 5  |-  ( E  e.  V  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
76eqcomd 2475 . . . 4  |-  ( E  e.  V  ->  { <. E ,  E >. }  =  ( { E }  X.  { E } ) )
87adantr 465 . . 3  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  { <. E ,  E >. }  =  ( { E }  X.  { E } ) )
9 f1oeq2 5806 . . 3  |-  ( {
<. E ,  E >. }  =  ( { E }  X.  { E }
)  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X }  <->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : ( { E }  X.  { E }
)
-1-1-onto-> { X } ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : { <. E ,  E >. } -1-1-onto-> { X }  <->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } : ( { E }  X.  { E }
)
-1-1-onto-> { X } ) )
114, 10mpbid 210 1  |-  ( ( E  e.  V  /\  X  e.  W )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } :
( { E }  X.  { E } ) -1-1-onto-> { X } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   {csn 4027   <.cop 4033    X. cxp 4997   -1-1-onto->wf1o 5585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593
This theorem is referenced by:  mat1dimelbas  18737
  Copyright terms: Public domain W3C validator