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Theorem f1o2ndf1 6888
Description: The  2nd (second member of an ordered pair) function restricted to a one-to-one function  F is a one-to-one function of  F onto the range of  F. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
f1o2ndf1  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( 2nd  |`  F ) : F -1-1-onto-> ran  F )

Proof of Theorem f1o2ndf1
Dummy variables  a 
b  v  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 5779 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A --> B )
2 fo2ndf 6887 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( 2nd  |`  F ) : F -onto-> ran  F
)
31, 2syl 16 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( 2nd  |`  F ) : F -onto-> ran  F
)
4 f2ndf 6886 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( 2nd  |`  F ) : F --> B )
51, 4syl 16 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( 2nd  |`  F ) : F --> B )
6 fssxp 5741 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  F  C_  ( A  X.  B ) )
71, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F  C_  ( A  X.  B ) )
8 ssel2 3499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  x  e.  F )  ->  x  e.  ( A  X.  B
) )
9 elxp2 5017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  X.  B )  <->  E. a  e.  A  E. v  e.  B  x  =  <. a ,  v >.
)
108, 9sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  x  e.  F )  ->  E. a  e.  A  E. v  e.  B  x  =  <. a ,  v >.
)
11 ssel2 3499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  y  e.  F )  ->  y  e.  ( A  X.  B
) )
12 elxp2 5017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( A  X.  B )  <->  E. b  e.  A  E. w  e.  B  y  =  <. b ,  w >. )
1311, 12sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  y  e.  F )  ->  E. b  e.  A  E. w  e.  B  y  =  <. b ,  w >. )
1410, 13anim12dan 835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( E. a  e.  A  E. v  e.  B  x  =  <. a ,  v
>.  /\  E. b  e.  A  E. w  e.  B  y  =  <. b ,  w >. )
)
15 fvres 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( <.
a ,  v >.  e.  F  ->  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v
>. )  =  ( 2nd `  <. a ,  v
>. ) )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
<. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  ->  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v >.
)  =  ( 2nd `  <. a ,  v
>. ) )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( <. a ,  v
>.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  /\  ( (
a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( 2nd  |`  F ) `
 <. a ,  v
>. )  =  ( 2nd `  <. a ,  v
>. ) )
18 fvres 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( <.
b ,  w >.  e.  F  ->  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. b ,  w >. )  =  ( 2nd `  <. b ,  w >. )
)
1918ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( <. a ,  v
>.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  /\  ( (
a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( 2nd  |`  F ) `
 <. b ,  w >. )  =  ( 2nd `  <. b ,  w >. ) )
2017, 19eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( <. a ,  v
>.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  /\  ( (
a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v >. )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. b ,  w >. )  <->  ( 2nd `  <. a ,  v >. )  =  ( 2nd `  <. b ,  w >. )
) )
21 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  a  e. 
_V
22 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  v  e. 
_V
2321, 22op2nd 6790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2nd `  <. a ,  v
>. )  =  v
24 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  b  e. 
_V
25 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  w  e. 
_V
2624, 25op2nd 6790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2nd `  <. b ,  w >. )  =  w
2723, 26eqeq12i 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2nd `  <. a ,  v >. )  =  ( 2nd `  <. b ,  w >. )  <->  v  =  w )
28 f1fun 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  Fun  F )
29 funopfv 5905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Fun 
F  ->  ( <. a ,  v >.  e.  F  ->  ( F `  a
)  =  v ) )
30 funopfv 5905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Fun 
F  ->  ( <. b ,  w >.  e.  F  ->  ( F `  b
)  =  w ) )
3129, 30anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Fun 
F  ->  ( ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  ->  ( ( F `  a )  =  v  /\  ( F `  b )  =  w ) ) )
3228, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F )  -> 
( ( F `  a )  =  v  /\  ( F `  b )  =  w ) ) )
33 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( F `  a )  =  v  <->  v  =  ( F `  a ) )
3433biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( F `  a )  =  v  ->  v  =  ( F `  a ) )
35 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( F `  b )  =  w  <->  w  =  ( F `  b ) )
3635biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( F `  b )  =  w  ->  w  =  ( F `  b ) )
3734, 36eqeqan12d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( F `  a
)  =  v  /\  ( F `  b )  =  w )  -> 
( v  =  w  <-> 
( F `  a
)  =  ( F `
 b ) ) )
38 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  ->  a  e.  A )
39 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( b  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  b  e.  A )
4038, 39anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B
)  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B ) )  -> 
( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )
41 f1veqaeq 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 b )  -> 
a  =  b ) )
4240, 41sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 b )  -> 
a  =  b ) )
43 opeq12 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( a  =  b  /\  v  =  w )  -> 
<. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
4443ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( a  =  b  ->  (
v  =  w  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. ) )
4542, 44syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 b )  -> 
( v  =  w  ->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) ) )
4645com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
v  =  w  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) ) )
4746ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( v  =  w  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) ) )
4847com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  (
( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( v  =  w  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. ) ) ) )
4937, 48syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( F `  a
)  =  v  /\  ( F `  b )  =  w )  -> 
( v  =  w  ->  ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) )  ->  (
v  =  w  -> 
( F : A -1-1-> B  ->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) ) ) ) )
5049com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( v  =  w  ->  (
v  =  w  -> 
( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  v  /\  ( F `  b )  =  w )  -> 
( F : A -1-1-> B  ->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) ) ) ) )
5150pm2.43i 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( v  =  w  ->  (
( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  v  /\  ( F `  b )  =  w )  -> 
( F : A -1-1-> B  ->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) ) ) )
5251com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  v  /\  ( F `  b )  =  w )  -> 
( v  =  w  ->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) ) ) )
5352com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( ( F `
 a )  =  v  /\  ( F `
 b )  =  w )  ->  (
( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( v  =  w  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) ) )
5432, 53syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F )  -> 
( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( v  =  w  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) ) )
5554com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B
)  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F )  -> 
( F : A -1-1-> B  ->  ( v  =  w  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) ) )
5655impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( <. a ,  v
>.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  /\  ( (
a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( F : A -1-1-> B  ->  ( v  =  w  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) )
5756com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( <. a ,  v
>.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  /\  ( (
a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( v  =  w  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) )
5827, 57syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( <. a ,  v
>.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  /\  ( (
a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( 2nd `  <. a ,  v >. )  =  ( 2nd `  <. b ,  w >. )  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) ) )
5920, 58sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( <. a ,  v
>.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  /\  ( (
a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v >. )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. b ,  w >. )  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) ) )
6059com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( <. a ,  v
>.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  /\  ( (
a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v
>. )  =  (
( 2nd  |`  F ) `
 <. b ,  w >. )  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) )
6160ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
<. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  ->  ( (
( a  e.  A  /\  v  e.  B
)  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B ) )  -> 
( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v
>. )  =  (
( 2nd  |`  F ) `
 <. b ,  w >. )  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) ) )
6261adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
) )  ->  (
( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 <. a ,  v
>. )  =  (
( 2nd  |`  F ) `
 <. b ,  w >. )  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) ) )
6362com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B
)  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( F  C_  ( A  X.  B
)  /\  ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F ) )  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 <. a ,  v
>. )  =  (
( 2nd  |`  F ) `
 <. b ,  w >. )  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) ) )
6463adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
) )  ->  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v >. )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. b ,  w >. )  -> 
<. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. ) ) ) )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( ( F 
C_  ( A  X.  B )  /\  ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
) )  ->  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v >. )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. b ,  w >. )  -> 
<. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. ) ) ) )
66 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  <. a ,  v
>.  ->  ( x  e.  F  <->  <. a ,  v
>.  e.  F ) )
6766ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( x  e.  F  <->  <. a ,  v
>.  e.  F ) )
68 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. b ,  w >.  ->  ( y  e.  F  <->  <. b ,  w >.  e.  F ) )
6967, 68bi2anan9 871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( ( x  e.  F  /\  y  e.  F )  <->  ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F ) ) )
7069anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( ( F 
C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  <->  ( F  C_  ( A  X.  B
)  /\  ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F ) ) ) )
71 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  <. a ,  v
>.  ->  ( ( 2nd  |`  F ) `  x
)  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v
>. ) )
7271ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( ( 2nd  |`  F ) `  x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 <. a ,  v
>. ) )
73 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. b ,  w >.  ->  ( ( 2nd  |`  F ) `  y
)  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. b ,  w >. ) )
7472, 73eqeqan12d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `  x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  <->  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v >.
)  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. b ,  w >. ) ) )
75 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  x  =  <. a ,  v >. )
76 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  y  =  <. b ,  w >. )
7775, 76eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( x  =  y  <->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) )
7874, 77imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )  <->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 <. a ,  v
>. )  =  (
( 2nd  |`  F ) `
 <. b ,  w >. )  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) )
7978imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( ( 2nd  |`  F ) `  x
)  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  y )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v
>. )  =  (
( 2nd  |`  F ) `
 <. b ,  w >. )  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) ) )
8065, 70, 793imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( ( F 
C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) ) )
8180ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( y  =  <. b ,  w >.  ->  ( ( F 
C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) )
8281rexlimdvva 2962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B
)  /\  x  =  <. a ,  v >.
)  ->  ( E. b  e.  A  E. w  e.  B  y  =  <. b ,  w >.  ->  ( ( F 
C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) )
8382ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  ->  ( x  =  <. a ,  v >.  ->  ( E. b  e.  A  E. w  e.  B  y  =  <. b ,  w >.  ->  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) ) )
8483rexlimivv 2960 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. a  e.  A  E. v  e.  B  x  =  <. a ,  v
>.  ->  ( E. b  e.  A  E. w  e.  B  y  =  <. b ,  w >.  -> 
( ( F  C_  ( A  X.  B
)  /\  ( x  e.  F  /\  y  e.  F ) )  -> 
( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `  x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) )
8584imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. a  e.  A  E. v  e.  B  x  =  <. a ,  v >.  /\  E. b  e.  A  E. w  e.  B  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( ( F 
C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) ) )
8614, 85mpcom 36 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
8786ex 434 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
( x  e.  F  /\  y  e.  F
)  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) ) )
8887com23 78 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  (
( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) ) )
897, 88mpcom 36 . . . . 5  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  (
( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
9089ralrimivv 2884 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( ( ( 2nd  |`  F ) `  x
)  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  y )  ->  x  =  y ) )
91 dff13 6152 . . . 4  |-  ( ( 2nd  |`  F ) : F -1-1-> B  <->  ( ( 2nd  |`  F ) : F --> B  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( ( ( 2nd  |`  F ) `  x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
925, 90, 91sylanbrc 664 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( 2nd  |`  F ) : F -1-1-> B )
93 df-f1 5591 . . . 4  |-  ( ( 2nd  |`  F ) : F -1-1-> B  <->  ( ( 2nd  |`  F ) : F --> B  /\  Fun  `' ( 2nd  |`  F )
) )
9493simprbi 464 . . 3  |-  ( ( 2nd  |`  F ) : F -1-1-> B  ->  Fun  `' ( 2nd  |`  F )
)
9592, 94syl 16 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  Fun  `' ( 2nd  |`  F ) )
96 dff1o3 5820 . 2  |-  ( ( 2nd  |`  F ) : F -1-1-onto-> ran  F  <->  ( ( 2nd  |`  F ) : F -onto-> ran  F  /\  Fun  `' ( 2nd  |`  F ) ) )
973, 95, 96sylanbrc 664 1  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( 2nd  |`  F ) : F -1-1-onto-> ran  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   <.cop 4033    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   ran crn 5000    |` cres 5001   Fun wfun 5580   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   -onto->wfo 5584   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586   2ndc2nd 6780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-2nd 6782
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