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Theorem f1mpt 6086
Description: Express injection for a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
f1mpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
f1mpt.2  |-  ( x  =  y  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
f1mpt  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    y, C    x, D    y, F
Allowed substitution hints:    C( x)    D( y)    F( x)

Proof of Theorem f1mpt
StepHypRef Expression
1 f1mpt.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
2 nfmpt1 4492 . . . 4  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  C )
31, 2nfcxfr 2614 . . 3  |-  F/_ x F
4 nfcv 2616 . . 3  |-  F/_ y F
53, 4dff13f 6085 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
61fmpt 5976 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  F : A --> B )
76anbi1i 695 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)  <->  ( F : A
--> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
8 f1mpt.2 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  C  =  D )
98eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( C  e.  B  <->  D  e.  B ) )
109cbvralv 3053 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  A. y  e.  A  D  e.  B )
11 raaanv 3899 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. y  e.  A  D  e.  B ) )
121fvmpt2 5893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  C  e.  B )  ->  ( F `  x
)  =  C )
138, 1fvmptg 5884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( F `  y
)  =  D )
1412, 13eqeqan12d 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  C  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  D  e.  B ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
C  =  D ) )
1514an4s 822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
C  =  D ) )
1615imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
1716ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  (
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) ) )
1817ralimdva 2832 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
)  ->  A. y  e.  A  ( (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y )
) ) )
19 ralbi 2959 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  (
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y ) )  -> 
( A. y  e.  A  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2018, 19syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
)  ->  ( A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y )
) ) )
2120ralimia 2817 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
22 ralbi 2959 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2411, 23sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. y  e.  A  D  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2510, 24sylan2b 475 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  C  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2625anidms 645 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2726pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
285, 7, 273bitr2i 273 1  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799    |-> cmpt 4461   -->wf 5525   -1-1->wf1 5526   ` cfv 5529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fv 5537
This theorem is referenced by:  ismon2  14795  isepi2  14802  usgraidx2v  23483
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