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Theorem f1mpt 6177
Description: Express injection for a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
f1mpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
f1mpt.2  |-  ( x  =  y  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
f1mpt  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    y, C    x, D    y, F
Allowed substitution hints:    C( x)    D( y)    F( x)

Proof of Theorem f1mpt
StepHypRef Expression
1 f1mpt.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
2 nfmpt1 4515 . . . 4  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  C )
31, 2nfcxfr 2589 . . 3  |-  F/_ x F
4 nfcv 2591 . . 3  |-  F/_ y F
53, 4dff13f 6175 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
61fmpt 6058 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  F : A --> B )
76anbi1i 699 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)  <->  ( F : A
--> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
8 f1mpt.2 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  C  =  D )
98eleq1d 2498 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( C  e.  B  <->  D  e.  B ) )
109cbvralv 3062 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  A. y  e.  A  D  e.  B )
11 raaanv 3912 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. y  e.  A  D  e.  B ) )
121fvmpt2 5973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  C  e.  B )  ->  ( F `  x
)  =  C )
138, 1fvmptg 5962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( F `  y
)  =  D )
1412, 13eqeqan12d 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  C  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  D  e.  B ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
C  =  D ) )
1514an4s 833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
C  =  D ) )
1615imbi1d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
1716ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  (
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) ) )
1817ralimdva 2840 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
)  ->  A. y  e.  A  ( (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y )
) ) )
19 ralbi 2966 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  (
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y ) )  -> 
( A. y  e.  A  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2018, 19syl6 34 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
)  ->  ( A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y )
) ) )
2120ralimia 2823 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
22 ralbi 2966 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2321, 22syl 17 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2411, 23sylbir 216 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. y  e.  A  D  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2510, 24sylan2b 477 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  C  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2625anidms 649 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2726pm5.32i 641 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
285, 7, 273bitr2i 276 1  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782    |-> cmpt 4484   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   ` cfv 5601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fv 5609
This theorem is referenced by:  ismon2  15590  isepi2  15597  usgraidx2v  24966  aciunf1lem  28104  disjf1  37080  usgedgvadf1  38485  usgedgvadf1ALT  38488
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