MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1linds Structured version   Unicode version

Theorem f1linds 18360
Description: A family constructed from non-repeated elements of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1linds  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  F LIndF  W )

Proof of Theorem f1linds
StepHypRef Expression
1 f1f 5701 . . . 4  |-  ( F : D -1-1-> S  ->  F : D --> S )
2 fcoi2 5681 . . . 4  |-  ( F : D --> S  -> 
( (  _I  |`  S )  o.  F )  =  F )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( F : D -1-1-> S  -> 
( (  _I  |`  S )  o.  F )  =  F )
433ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  ( (  _I  |`  S )  o.  F )  =  F )
5 simp1 988 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  W  e.  LMod )
6 linds2 18346 . . . 4  |-  ( S  e.  (LIndS `  W
)  ->  (  _I  |`  S ) LIndF  W )
763ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  (  _I  |`  S ) LIndF  W )
8 dmresi 5256 . . . . . 6  |-  dom  (  _I  |`  S )  =  S
9 f1eq3 5698 . . . . . 6  |-  ( dom  (  _I  |`  S )  =  S  ->  ( F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S )  <->  F : D -1-1-> S ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S )  <->  F : D -1-1-> S )
1110biimpri 206 . . . 4  |-  ( F : D -1-1-> S  ->  F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S ) )
12113ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S ) )
13 f1lindf 18357 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (  _I  |`  S ) LIndF  W  /\  F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S ) )  ->  ( (  _I  |`  S )  o.  F ) LIndF  W )
145, 7, 12, 13syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  ( (  _I  |`  S )  o.  F ) LIndF  W )
154, 14eqbrtrrd 4409 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  F LIndF  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4387    _I cid 4726   dom cdm 4935    |` cres 4937    o. ccom 4939   -->wf 5509   -1-1->wf1 5510   ` cfv 5513   LModclmod 17051   LIndF clindf 18339  LIndSclinds 18340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-id 4731  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-slot 14277  df-base 14278  df-0g 14479  df-mnd 15514  df-grp 15644  df-lmod 17053  df-lss 17117  df-lsp 17156  df-lindf 18341  df-linds 18342
This theorem is referenced by:  islindf3  18361  lindsmm  18363  lbslcic  18376
  Copyright terms: Public domain W3C validator