MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1linds Structured version   Unicode version

Theorem f1linds 19027
Description: A family constructed from non-repeated elements of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1linds  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  F LIndF  W )

Proof of Theorem f1linds
StepHypRef Expression
1 f1f 5763 . . . 4  |-  ( F : D -1-1-> S  ->  F : D --> S )
2 fcoi2 5742 . . . 4  |-  ( F : D --> S  -> 
( (  _I  |`  S )  o.  F )  =  F )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( F : D -1-1-> S  -> 
( (  _I  |`  S )  o.  F )  =  F )
433ad2ant3 1017 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  ( (  _I  |`  S )  o.  F )  =  F )
5 simp1 994 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  W  e.  LMod )
6 linds2 19013 . . . 4  |-  ( S  e.  (LIndS `  W
)  ->  (  _I  |`  S ) LIndF  W )
763ad2ant2 1016 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  (  _I  |`  S ) LIndF  W )
8 dmresi 5317 . . . . . 6  |-  dom  (  _I  |`  S )  =  S
9 f1eq3 5760 . . . . . 6  |-  ( dom  (  _I  |`  S )  =  S  ->  ( F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S )  <->  F : D -1-1-> S ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S )  <->  F : D -1-1-> S )
1110biimpri 206 . . . 4  |-  ( F : D -1-1-> S  ->  F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S ) )
12113ad2ant3 1017 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S ) )
13 f1lindf 19024 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (  _I  |`  S ) LIndF  W  /\  F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S ) )  ->  ( (  _I  |`  S )  o.  F ) LIndF  W )
145, 7, 12, 13syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  ( (  _I  |`  S )  o.  F ) LIndF  W )
154, 14eqbrtrrd 4461 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  F LIndF  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   class class class wbr 4439    _I cid 4779   dom cdm 4988    |` cres 4990    o. ccom 4992   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   ` cfv 5570   LModclmod 17707   LIndF clindf 19006  LIndSclinds 19007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-slot 14720  df-base 14721  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-lindf 19008  df-linds 19009
This theorem is referenced by:  islindf3  19028  lindsmm  19030  lbslcic  19043
  Copyright terms: Public domain W3C validator