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Theorem f1lindf 18942
Description: Rearranging and deleting elements from an independent family gives an independent family. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1lindf  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F  o.  G ) LIndF  W )

Proof of Theorem f1lindf
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
21lindff 18935 . . . . . 6  |-  ( ( F LIndF  W  /\  W  e.  LMod )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W ) )
32ancoms 451 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W
) )
433adant3 1014 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W ) )
5 f1f 5689 . . . . 5  |-  ( G : K -1-1-> dom  F  ->  G : K --> dom  F
)
653ad2ant3 1017 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  G : K --> dom  F )
7 fco 5649 . . . 4  |-  ( ( F : dom  F --> ( Base `  W )  /\  G : K --> dom  F
)  ->  ( F  o.  G ) : K --> ( Base `  W )
)
84, 6, 7syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F  o.  G ) : K --> ( Base `  W
) )
9 ffdm 5653 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G ) : K --> ( Base `  W )  ->  (
( F  o.  G
) : dom  ( F  o.  G ) --> ( Base `  W )  /\  dom  ( F  o.  G )  C_  K
) )
109simpld 457 . . 3  |-  ( ( F  o.  G ) : K --> ( Base `  W )  ->  ( F  o.  G ) : dom  ( F  o.  G ) --> ( Base `  W ) )
118, 10syl 16 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F  o.  G ) : dom  ( F  o.  G ) --> ( Base `  W ) )
12 simpl2 998 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  F LIndF  W )
136adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  G : K --> dom  F )
14 fdm 5643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  o.  G ) : K --> ( Base `  W )  ->  dom  ( F  o.  G
)  =  K )
158, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  dom  ( F  o.  G
)  =  K )
1615eleq2d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  (
x  e.  dom  ( F  o.  G )  <->  x  e.  K ) )
1716biimpa 482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  x  e.  K
)
1813, 17ffvelrnd 5934 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( G `  x )  e.  dom  F )
1918adantrr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  dom  F )
20 eldifi 3540 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) } )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
2120ad2antll 726 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
22 eldifsni 4070 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) } )  ->  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
2322ad2antll 726 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
24 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
25 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
26 eqid 2382 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
27 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
28 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
2924, 25, 26, 27, 28lindfind 18936 . . . . 5  |-  ( ( ( F LIndF  W  /\  ( G `  x )  e.  dom  F )  /\  ( k  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  ->  -.  ( k ( .s
`  W ) ( F `  ( G `
 x ) ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( dom 
F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) )
3012, 19, 21, 23, 29syl22anc 1227 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  ( k
( .s `  W
) ( F `  ( G `  x ) ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) )
31 f1fn 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : K -1-1-> dom  F  ->  G  Fn  K )
32313ad2ant3 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  G  Fn  K )
3332adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  G  Fn  K
)
34 fvco2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  K  /\  x  e.  K )  ->  ( ( F  o.  G ) `  x
)  =  ( F `
 ( G `  x ) ) )
3533, 17, 34syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  ( F `  ( G `
 x ) ) )
3635oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( k ( .s `  W ) ( ( F  o.  G ) `  x
) )  =  ( k ( .s `  W ) ( F `
 ( G `  x ) ) ) )
3736eleq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( ( k ( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  <->  ( k
( .s `  W
) ( F `  ( G `  x ) ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) ) ) ) )
38 simpl1 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  W  e.  LMod )
39 imassrn 5260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) )  C_  ran  F
40 frn 5645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : dom  F --> ( Base `  W )  ->  ran  F 
C_  ( Base `  W
) )
414, 40syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ran  F 
C_  ( Base `  W
) )
4239, 41syl5ss 3428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) )  C_  ( Base `  W ) )
4342adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) )  C_  ( Base `  W )
)
44 imaco 5420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  o.  G )
" ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) )  =  ( F
" ( G "
( dom  ( F  o.  G )  \  {
x } ) ) )
4515difeq1d 3535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } )  =  ( K  \  { x } ) )
4645imaeq2d 5249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( G " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) )  =  ( G
" ( K  \  { x } ) ) )
47 df-f1 5501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : K -1-1-> dom  F  <->  ( G : K --> dom  F  /\  Fun  `' G ) )
4847simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : K -1-1-> dom  F  ->  Fun  `' G )
49483ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  Fun  `' G )
50 imadif 5571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  `' G  ->  ( G
" ( K  \  { x } ) )  =  ( ( G " K ) 
\  ( G " { x } ) ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( G " ( K  \  { x } ) )  =  ( ( G " K ) 
\  ( G " { x } ) ) )
5246, 51eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( G " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) )  =  ( ( G " K ) 
\  ( G " { x } ) ) )
5352adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( G " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) )  =  ( ( G " K )  \  ( G " { x }
) ) )
54 fnsnfv 5834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  Fn  K  /\  x  e.  K )  ->  { ( G `  x ) }  =  ( G " { x } ) )
5532, 54sylan 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  { ( G `  x ) }  =  ( G " { x } ) )
5655difeq2d 3536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( ( G " K )  \  {
( G `  x
) } )  =  ( ( G " K )  \  ( G " { x }
) ) )
57 imassrn 5260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G
" K )  C_  ran  G
586adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  G : K --> dom  F
)
59 frn 5645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : K --> dom  F  ->  ran  G  C_  dom  F )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ran  G  C_  dom  F )
6157, 60syl5ss 3428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( G " K
)  C_  dom  F )
6261ssdifd 3554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( ( G " K )  \  {
( G `  x
) } )  C_  ( dom  F  \  {
( G `  x
) } ) )
6356, 62eqsstr3d 3452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( ( G " K )  \  ( G " { x }
) )  C_  ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) )
6453, 63eqsstrd 3451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( G " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) )  C_  ( dom  F  \  {
( G `  x
) } ) )
65 imass2 5284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) )  C_  ( dom  F  \  {
( G `  x
) } )  -> 
( F " ( G " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  C_  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( F " ( G " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  C_  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) )
6744, 66syl5eqss 3461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) )  C_  ( F " ( dom 
F  \  { ( G `  x ) } ) ) )
681, 25lspss 17743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) )  C_  ( Base `  W )  /\  (
( F  o.  G
) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) )  C_  ( F " ( dom 
F  \  { ( G `  x ) } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (
( F  o.  G
) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) ) ) 
C_  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) )
6938, 43, 67, 68syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  C_  (
( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) )
7017, 69syldan 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (
( F  o.  G
) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) ) ) 
C_  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) )
7170sseld 3416 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( ( k ( .s `  W
) ( F `  ( G `  x ) ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) ) )  ->  ( k ( .s `  W ) ( F `  ( G `  x )
) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) ) )
7237, 71sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( ( k ( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  ->  (
k ( .s `  W ) ( F `
 ( G `  x ) ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) ) )
7372adantrr 714 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  ( ( k ( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  ->  (
k ( .s `  W ) ( F `
 ( G `  x ) ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) ) )
7430, 73mtod 177 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  ( k
( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) ) )
7574ralrimivva 2803 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( ( F  o.  G ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  (
( F  o.  G
) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) ) ) )
76 simp1 994 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  W  e.  LMod )
77 rellindf 18928 . . . . . 6  |-  Rel LIndF
7877brrelexi 4954 . . . . 5  |-  ( F LIndF 
W  ->  F  e.  _V )
79783ad2ant2 1016 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  F  e.  _V )
80 simp3 996 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  G : K -1-1-> dom  F )
81 dmexg 6630 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  _V  ->  dom  F  e.  _V )
8279, 81syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  dom  F  e.  _V )
83 f1dmex 6669 . . . . . 6  |-  ( ( G : K -1-1-> dom  F  /\  dom  F  e. 
_V )  ->  K  e.  _V )
8480, 82, 83syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  K  e.  _V )
85 fex 6046 . . . . 5  |-  ( ( G : K --> dom  F  /\  K  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
866, 84, 85syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  G  e.  _V )
87 coexg 6650 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F  o.  G
)  e.  _V )
8879, 86, 87syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F  o.  G )  e.  _V )
891, 24, 25, 26, 28, 27islindf 18932 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( F  o.  G )  e.  _V )  ->  (
( F  o.  G
) LIndF  W  <->  ( ( F  o.  G ) : dom  ( F  o.  G ) --> ( Base `  W )  /\  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  ( k ( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) ) ) ) )
9076, 88, 89syl2anc 659 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  (
( F  o.  G
) LIndF  W  <->  ( ( F  o.  G ) : dom  ( F  o.  G ) --> ( Base `  W )  /\  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  ( k ( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) ) ) ) )
9111, 75, 90mpbir2and 920 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F  o.  G ) LIndF  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    C_ wss 3389   {csn 3944   class class class wbr 4367   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   ran crn 4914   "cima 4916    o. ccom 4917   Fun wfun 5490    Fn wfn 5491   -->wf 5492   -1-1->wf1 5493   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634  Scalarcsca 14705   .scvsca 14706   0gc0g 14847   LModclmod 17625   LSpanclspn 17730   LIndF clindf 18924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-slot 14638  df-base 14639  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-lsp 17731  df-lindf 18926
This theorem is referenced by:  lindfres  18943  f1linds  18945
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