Theorem f1lindf 27160

Description: Rearranging and deleting elements from an independent family gives an independent family. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1lindf	|- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( F o. G ) LIndF W )

Proof of Theorem f1lindf

Dummy variables k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2	1	lindff 27153	. . . . . 6 |- ( ( F LIndF W /\ W e. LMod ) -> F : dom F --> ( Base ` W ) )
3	2	ancoms 440	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W ) -> F : dom F --> ( Base ` W ) )
4	3	3adant3 977	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> F : dom F --> ( Base ` W ) )
5		f1f 5598	. . . . 5 |- ( G : K -1-1-> dom F -> G : K --> dom F )
6	5	3ad2ant3 980	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> G : K --> dom F )
7		fco 5559	. . . 4 |- ( ( F : dom F --> ( Base ` W ) /\ G : K --> dom F ) -> ( F o. G ) : K --> ( Base ` W ) )
8	4, 6, 7	syl2anc 643	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( F o. G ) : K --> ( Base ` W ) )
9		ffdm 5564	. . . 4 |- ( ( F o. G ) : K --> ( Base ` W ) -> ( ( F o. G ) : dom ( F o. G ) --> ( Base ` W ) /\ dom ( F o. G ) C_ K ) )
10	9	simpld 446	. . 3 |- ( ( F o. G ) : K --> ( Base ` W ) -> ( F o. G ) : dom ( F o. G ) --> ( Base ` W ) )
11	8, 10	syl 16	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( F o. G ) : dom ( F o. G ) --> ( Base ` W ) )
12		simpl2 961	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ ( x e. dom ( F o. G ) /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> F LIndF W )
13	6	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> G : K --> dom F )
14		fdm 5554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F o. G ) : K --> ( Base ` W ) -> dom ( F o. G ) = K )
15	8, 14	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> dom ( F o. G ) = K )
16	15	eleq2d 2471	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( x e. dom ( F o. G ) <-> x e. K ) )
17	16	biimpa 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> x e. K )
18	13, 17	ffvelrnd 5830	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> ( G ` x ) e. dom F )
19	18	adantrr 698	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ ( x e. dom ( F o. G ) /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> ( G ` x ) e. dom F )
20		eldifi 3429	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -> k e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
21	20	ad2antll 710	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ ( x e. dom ( F o. G ) /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> k e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
22		eldifsni 3888	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -> k =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
23	22	ad2antll 710	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ ( x e. dom ( F o. G ) /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> k =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
24		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
25		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
26		eqid 2404	. . . . . 6 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
27		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( 0g ` (Scalar ` W ) ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) )
28		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
29	24, 25, 26, 27, 28	lindfind 27154	. . . . 5 |- ( ( ( F LIndF W /\ ( G ` x ) e. dom F ) /\ ( k e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ k =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) ) -> -. ( k ( .s ` W ) ( F ` ( G ` x ) ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) )
30	12, 19, 21, 23, 29	syl22anc 1185	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ ( x e. dom ( F o. G ) /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> -. ( k ( .s ` W ) ( F ` ( G ` x ) ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) )
31		f1fn 5599	. . . . . . . . . . 11 |- ( G : K -1-1-> dom F -> G Fn K )
32	31	3ad2ant3 980	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> G Fn K )
33	32	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> G Fn K )
34		fvco2 5757	. . . . . . . . 9 |- ( ( G Fn K /\ x e. K ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
35	33, 17, 34	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
36	35	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> ( k ( .s ` W ) ( ( F o. G ) ` x ) ) = ( k ( .s ` W ) ( F ` ( G ` x ) ) ) )
37	36	eleq1d 2470	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> ( ( k ( .s ` W ) ( ( F o. G ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) <-> ( k ( .s ` W ) ( F ` ( G ` x ) ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) ) )
38		simpl1 960	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> W e. LMod )
39		imassrn 5175	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) C_ ran F
40		frn 5556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : dom F --> ( Base ` W ) -> ran F C_ ( Base ` W ) )
41	4, 40	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ran F C_ ( Base ` W ) )
42	39, 41	syl5ss 3319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) C_ ( Base ` W ) )
43	42	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) C_ ( Base ` W ) )
44		imaco 5334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) = ( F " ( G " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) )
45	15	difeq1d 3424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( dom ( F o. G ) \ { x } ) = ( K \ { x } ) )
46	45	imaeq2d 5162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( G " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) = ( G " ( K \ { x } ) ) )
47		df-f1 5418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G : K -1-1-> dom F <-> ( G : K --> dom F /\ Fun `' G ) )
48	47	simprbi 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G : K -1-1-> dom F -> Fun `' G )
49	48	3ad2ant3 980	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> Fun `' G )
50		imadif 5487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun `' G -> ( G " ( K \ { x } ) ) = ( ( G " K ) \ ( G " { x } ) ) )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( G " ( K \ { x } ) ) = ( ( G " K ) \ ( G " { x } ) ) )
52	46, 51	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( G " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) = ( ( G " K ) \ ( G " { x } ) ) )
53	52	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( G " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) = ( ( G " K ) \ ( G " { x } ) ) )
54		fnsnfv 5745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G Fn K /\ x e. K ) -> { ( G ` x ) } = ( G " { x } ) )
55	32, 54	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> { ( G ` x ) } = ( G " { x } ) )
56	55	difeq2d 3425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( ( G " K ) \ { ( G ` x ) } ) = ( ( G " K ) \ ( G " { x } ) ) )
57		imassrn 5175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G " K ) C_ ran G
58	6	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> G : K --> dom F )
59		frn 5556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G : K --> dom F -> ran G C_ dom F )
60	58, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ran G C_ dom F )
61	57, 60	syl5ss 3319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( G " K ) C_ dom F )
62	61	ssdifd 3443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( ( G " K ) \ { ( G ` x ) } ) C_ ( dom F \ { ( G ` x ) } ) )
63	56, 62	eqsstr3d 3343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( ( G " K ) \ ( G " { x } ) ) C_ ( dom F \ { ( G ` x ) } ) )
64	53, 63	eqsstrd 3342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( G " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) C_ ( dom F \ { ( G ` x ) } ) )
65		imass2 5199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) C_ ( dom F \ { ( G ` x ) } ) -> ( F " ( G " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) C_ ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) )
66	64, 65	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( F " ( G " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) C_ ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) )
67	44, 66	syl5eqss 3352	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) C_ ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) )
68	1, 25	lspss 16015	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) C_ ( Base ` W ) /\ ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) C_ ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) -> ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) )
69	38, 43, 67, 68	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. K ) -> ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) )
70	17, 69	syldan 457	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) )
71	70	sseld 3307	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> ( ( k ( .s ` W ) ( F ` ( G ` x ) ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) -> ( k ( .s ` W ) ( F ` ( G ` x ) ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) ) )
72	37, 71	sylbid 207	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ x e. dom ( F o. G ) ) -> ( ( k ( .s ` W ) ( ( F o. G ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) -> ( k ( .s ` W ) ( F ` ( G ` x ) ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) ) )
73	72	adantrr 698	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ ( x e. dom ( F o. G ) /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> ( ( k ( .s ` W ) ( ( F o. G ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) -> ( k ( .s ` W ) ( F ` ( G ` x ) ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( F " ( dom F \ { ( G ` x ) } ) ) ) ) )
74	30, 73	mtod 170	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) /\ ( x e. dom ( F o. G ) /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) ) -> -. ( k ( .s ` W ) ( ( F o. G ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) )
75	74	ralrimivva 2758	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> A. x e. dom ( F o. G ) A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -. ( k ( .s ` W ) ( ( F o. G ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) )
76		simp1 957	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> W e. LMod )
77		rellindf 27146	. . . . . 6 |- Rel LIndF
78	77	brrelexi 4877	. . . . 5 |- ( F LIndF W -> F e. _V )
79	78	3ad2ant2 979	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> F e. _V )
80		simp3 959	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> G : K -1-1-> dom F )
81		dmexg 5089	. . . . . . 7 |- ( F e. _V -> dom F e. _V )
82	79, 81	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> dom F e. _V )
83		f1dmex 5930	. . . . . 6 |- ( ( G : K -1-1-> dom F /\ dom F e. _V ) -> K e. _V )
84	80, 82, 83	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> K e. _V )
85		fex 5928	. . . . 5 |- ( ( G : K --> dom F /\ K e. _V ) -> G e. _V )
86	6, 84, 85	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> G e. _V )
87		coexg 5371	. . . 4 |- ( ( F e. _V /\ G e. _V ) -> ( F o. G ) e. _V )
88	79, 86, 87	syl2anc 643	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( F o. G ) e. _V )
89	1, 24, 25, 26, 28, 27	islindf 27150	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( F o. G ) e. _V ) -> ( ( F o. G ) LIndF W <-> ( ( F o. G ) : dom ( F o. G ) --> ( Base ` W ) /\ A. x e. dom ( F o. G ) A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -. ( k ( .s ` W ) ( ( F o. G ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) ) ) )
90	76, 88, 89	syl2anc 643	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( ( F o. G ) LIndF W <-> ( ( F o. G ) : dom ( F o. G ) --> ( Base ` W ) /\ A. x e. dom ( F o. G ) A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` W ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) -. ( k ( .s ` W ) ( ( F o. G ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` W ) ` ( ( F o. G ) " ( dom ( F o. G ) \ { x } ) ) ) ) ) )
91	11, 75, 90	mpbir2and 889	1 |- ( ( W e. LMod /\ F LIndF W /\ G : K -1-1-> dom F ) -> ( F o. G ) LIndF W )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   o. ccom 4841   Fun wfun 5407   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   0gc0g 13678   LModclmod 15905   LSpanclspn 16002   LIndF clindf 27142

This theorem is referenced by:  lindfres  27161  f1linds  27163

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-riota 6508  df-slot 13428  df-base 13429  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lindf 27144