Theorem f1imaen 4509

Description: A one-to-one function's image under a subset of its domain is equinumerous to the subset.

Hypothesis

Ref	Expression
f1imaen.1	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
f1imaen	|- ((F:A-1-1->B /\ C (_ A) -> (F"C) ~~ C)

Proof of Theorem f1imaen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ores 3779	. 2 |- ((F:A-1-1->B /\ C (_ A) -> (F |` C):C-1-1-onto->(F"C))
2		f1imaen.1	. . . 4 |- C e. V
3	2	f1oen 4485	. . 3 |- ((F |` C):C-1-1-onto->(F"C) -> C ~~ (F"C))
4		f1ofo 3771	. . . 4 |- ((F |` C):C-1-1-onto->(F"C) -> (F |` C):C-onto->(F"C))
5		fornex 3755	. . . . 5 |- (C e. V -> ((F |` C):C-onto->(F"C) -> (F"C) e. V))
6	2, 5	ax-mp 7	. . . 4 |- ((F |` C):C-onto->(F"C) -> (F"C) e. V)
7		ensymg 4498	. . . 4 |- ((F"C) e. V -> (C ~~ (F"C) -> (F"C) ~~ C))
8	4, 6, 7	3syl 20	. . 3 |- ((F |` C):C-1-1-onto->(F"C) -> (C ~~ (F"C) -> (F"C) ~~ C))
9	3, 8	mpd 26	. 2 |- ((F |` C):C-1-1-onto->(F"C) -> (F"C) ~~ C)
10	1, 9	syl 10	1 |- ((F:A-1-1->B /\ C (_ A) -> (F"C) ~~ C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   e. wcel 990  Vcvv 1849   (_ wss 2091   class class class wbr 2669   |` cres 3227  "cima 3228  -1-1->wf1 3234  -onto->wfo 3235  -1-1-onto->wf1o 3236   ~~ cen 4451

This theorem is referenced by:  ssenen 4593

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-rex 1688  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-uni 2552  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-er 4345  df-en 4455

Copyright terms: Public domain