Theorem f1imaen 5481

Description: A one-to-one function's image under a subset of its domain is equinumerous to the subset.

Hypothesis

Ref	Expression
f1imaen.1	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
f1imaen	|- ((F:A-1-1->B /\ C C_ A) -> (F"C) ~~ C)

Proof of Theorem f1imaen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ores 4654	. 2 |- ((F:A-1-1->B /\ C C_ A) -> (F |` C):C-1-1-onto->(F"C))
2		f1imaen.1	. . . 4 |- C e. _V
3	2	f1oen 5457	. . 3 |- ((F |` C):C-1-1-onto->(F"C) -> C ~~ (F"C))
4		f1ofo 4643	. . . 4 |- ((F |` C):C-1-1-onto->(F"C) -> (F |` C):C-onto->(F"C))
5		fornex 4625	. . . . 5 |- (C e. _V -> ((F |` C):C-onto->(F"C) -> (F"C) e. _V))
6	2, 5	ax-mp 7	. . . 4 |- ((F |` C):C-onto->(F"C) -> (F"C) e. _V)
7		ensymg 5470	. . . 4 |- ((F"C) e. _V -> (C ~~ (F"C) -> (F"C) ~~ C))
8	4, 6, 7	3syl 24	. . 3 |- ((F |` C):C-1-1-onto->(F"C) -> (C ~~ (F"C) -> (F"C) ~~ C))
9	3, 8	mpd 29	. 2 |- ((F |` C):C-1-1-onto->(F"C) -> (F"C) ~~ C)
10	1, 9	syl 12	1 |- ((F:A-1-1->B /\ C C_ A) -> (F"C) ~~ C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   class class class wbr 3338   |` cres 3988  "cima 3989  -1-1->wf1 3995  -onto->wfo 3996  -1-1-onto->wf1o 3997   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  ssenen 5598

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-er 5318  df-en 5427

Copyright terms: Public domain