Theorem f1fi 14377

Description: If a 1-to-1 function has a finite codomain its domain is finite.

Hypothesis

Ref	Expression
f1fi.1	|- F e. C

Assertion

Ref	Expression
f1fi	|- ((B e. Fin /\ F:A-1-1->B) -> A e. Fin)

Distinct variable group:   A,B,F

Proof of Theorem f1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fi.1	. . . . 5 |- F e. C
2	1	elisseti 2301	. . . 4 |- F e. _V
3	2	f11o 4666	. . 3 |- (F:A-1-1->B <-> E.x(F:A-1-1-onto->x /\ x C_ B))
4		f1ofi 14376	. . . . . . . 8 |- (F:A-1-1-onto->x -> (A e. Fin <-> x e. Fin))
5		ssfi 5630	. . . . . . . 8 |- ((B e. Fin /\ x C_ B) -> x e. Fin)
6	4, 5	syl5cbir 228	. . . . . . 7 |- ((B e. Fin /\ x C_ B) -> (F:A-1-1-onto->x -> A e. Fin))
7	6	ex 402	. . . . . 6 |- (B e. Fin -> (x C_ B -> (F:A-1-1-onto->x -> A e. Fin)))
8	7	com13 37	. . . . 5 |- (F:A-1-1-onto->x -> (x C_ B -> (B e. Fin -> A e. Fin)))
9	8	imp 377	. . . 4 |- ((F:A-1-1-onto->x /\ x C_ B) -> (B e. Fin -> A e. Fin))
10	9	19.23aiv 1674	. . 3 |- (E.x(F:A-1-1-onto->x /\ x C_ B) -> (B e. Fin -> A e. Fin))
11	3, 10	sylbi 216	. 2 |- (F:A-1-1->B -> (B e. Fin -> A e. Fin))
12	11	impcom 378	1 |- ((B e. Fin /\ F:A-1-1->B) -> A e. Fin)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  E.wex 1326   C_ wss 2593  -1-1->wf1 3995  -1-1-onto->wf1o 3997  Fincfn 5426

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-1o 5177  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-fin 5430

Copyright terms: Public domain