MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1fi Structured version   Unicode version

Theorem f1fi 7796
Description: If a 1-to-1 function has a finite codomain its domain is finite. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1fi  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  F : A -1-1-> B )  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem f1fi
StepHypRef Expression
1 f1f 5772 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A --> B )
2 frn 5728 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  ran  F  C_  B )
4 ssfi 7730 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ran  F  C_  B )  ->  ran  F  e.  Fin )
53, 4sylan2 474 . 2  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  F : A -1-1-> B )  ->  ran  F  e.  Fin )
6 f1f1orn 5818 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F )
76adantl 466 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  F : A -1-1-> B )  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F )
8 f1ocnv 5819 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> ran  F  ->  `' F : ran  F -1-1-onto-> A )
9 f1ofo 5814 . . 3  |-  ( `' F : ran  F -1-1-onto-> A  ->  `' F : ran  F -onto-> A )
107, 8, 93syl 20 . 2  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  F : A -1-1-> B )  ->  `' F : ran  F -onto-> A )
11 fofi 7795 . 2  |-  ( ( ran  F  e.  Fin  /\  `' F : ran  F -onto-> A )  ->  A  e.  Fin )
125, 10, 11syl2anc 661 1  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  F : A -1-1-> B )  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762    C_ wss 3469   `'ccnv 4991   ran crn 4993   -->wf 5575   -1-1->wf1 5576   -onto->wfo 5577   -1-1-onto->wf1o 5578   Fincfn 7506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-1o 7120  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-fin 7510
This theorem is referenced by:  ixpfi2  7807  fsumvma  23209  edgusgranbfin  24112  fourierdlem51  31277
  Copyright terms: Public domain W3C validator