MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1fi Structured version   Unicode version

Theorem f1fi 7841
Description: If a 1-to-1 function has a finite codomain its domain is finite. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1fi  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  F : A -1-1-> B )  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem f1fi
StepHypRef Expression
1 f1f 5764 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A --> B )
2 frn 5720 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  ran  F  C_  B )
4 ssfi 7775 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ran  F  C_  B )  ->  ran  F  e.  Fin )
53, 4sylan2 472 . 2  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  F : A -1-1-> B )  ->  ran  F  e.  Fin )
6 f1f1orn 5810 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F )
76adantl 464 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  F : A -1-1-> B )  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F )
8 f1ocnv 5811 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> ran  F  ->  `' F : ran  F -1-1-onto-> A )
9 f1ofo 5806 . . 3  |-  ( `' F : ran  F -1-1-onto-> A  ->  `' F : ran  F -onto-> A )
107, 8, 93syl 18 . 2  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  F : A -1-1-> B )  ->  `' F : ran  F -onto-> A )
11 fofi 7840 . 2  |-  ( ( ran  F  e.  Fin  /\  `' F : ran  F -onto-> A )  ->  A  e.  Fin )
125, 10, 11syl2anc 659 1  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  F : A -1-1-> B )  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842    C_ wss 3414   `'ccnv 4822   ran crn 4824   -->wf 5565   -1-1->wf1 5566   -onto->wfo 5567   -1-1-onto->wf1o 5568   Fincfn 7554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-om 6684  df-1o 7167  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-fin 7558
This theorem is referenced by:  ixpfi2  7852  fsumvma  23869  edgusgranbfin  24867  fourierdlem51  37308
  Copyright terms: Public domain W3C validator