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Theorem f1eqcocnv 6214
Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1eqcocnv  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  =  G  <->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A )
) )

Proof of Theorem f1eqcocnv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1cocnv1 5860 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A )
)
2 coeq2 5013 . . . . 5  |-  ( F  =  G  ->  ( `' F  o.  F
)  =  ( `' F  o.  G ) )
32eqeq1d 2431 . . . 4  |-  ( F  =  G  ->  (
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A )  <->  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) ) )
41, 3syl5ibcom 223 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( F  =  G  ->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A )
) )
54adantr 466 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  =  G  ->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) ) )
6 f1fn 5797 . . . . . . 7  |-  ( G : A -1-1-> B  ->  G  Fn  A )
76adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  G  Fn  A )
87adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  G  Fn  A )
9 f1fn 5797 . . . . . . 7  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F  Fn  A )
109adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  F  Fn  A )
1110adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  F  Fn  A )
12 equid 1842 . . . . . . . . . 10  |-  x  =  x
13 resieq 5135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x (  _I  |`  A ) x  <->  x  =  x ) )
1412, 13mpbiri 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x (  _I  |`  A ) x )
1514anidms 649 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  x
(  _I  |`  A ) x )
1615adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  x (  _I  |`  A ) x )
17 breq 4428 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A )  ->  (
x ( `' F  o.  G ) x  <->  x (  _I  |`  A ) x ) )
1817ad2antlr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x ( `' F  o.  G ) x  <->  x (  _I  |`  A ) x ) )
1916, 18mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  x ( `' F  o.  G ) x )
20 fnfun 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  Fn  A  ->  Fun  G )
217, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  Fun  G )
2221adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  Fun  G )
23 fndm 5693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  Fn  A  ->  dom  G  =  A )
247, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  dom  G  =  A )
2524eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( x  e.  dom  G  <->  x  e.  A ) )
2625biimpar 487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  G )
27 funopfvb 5924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  G  /\  x  e.  dom  G )  -> 
( ( G `  x )  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  G ) )
2822, 26, 27syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  x
)  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  G
) )
2928bicomd 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  <->  ( G `  x )  =  y ) )
30 df-br 4427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x G y  <->  <. x ,  y >.  e.  G
)
31 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( G `  x )  <->  ( G `  x )  =  y )
3229, 30, 313bitr4g 291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x G y  <->  y  =  ( G `  x ) ) )
3332biimpd 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x G y  -> 
y  =  ( G `
 x ) ) )
34 fnfun 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  A  ->  Fun  F )
3510, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  Fun  F )
3635adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  Fun  F )
37 fndm 5693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
3810, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  dom  F  =  A )
3938eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( x  e.  dom  F  <->  x  e.  A ) )
4039biimpar 487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  F )
41 funopfvb 5924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  x )  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  F ) )
4236, 40, 41syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  x
)  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
) )
43 df-br 4427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
4442, 43syl6rbbr 267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x F y  <->  ( F `  x )  =  y ) )
45 vex 3090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
46 vex 3090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
4745, 46brcnv 5037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `' F x  <->  x F
y )
48 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  y )
4944, 47, 483bitr4g 291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
y `' F x  <-> 
y  =  ( F `
 x ) ) )
5049biimpd 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
y `' F x  ->  y  =  ( F `  x ) ) )
5133, 50anim12d 565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( x G y  /\  y `' F x )  ->  (
y  =  ( G `
 x )  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
5251eximdv 1757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y ( x G y  /\  y `' F x )  ->  E. y ( y  =  ( G `  x
)  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
5346, 46brco 5025 . . . . . . . 8  |-  ( x ( `' F  o.  G ) x  <->  E. y
( x G y  /\  y `' F x ) )
54 fvex 5891 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
5554eqvinc 3204 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  x )  =  ( F `  x )  <->  E. y
( y  =  ( G `  x )  /\  y  =  ( F `  x ) ) )
5652, 53, 553imtr4g 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x ( `' F  o.  G ) x  -> 
( G `  x
)  =  ( F `
 x ) ) )
5756adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x ( `' F  o.  G ) x  ->  ( G `  x )  =  ( F `  x ) ) )
5819, 57mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  =  ( F `
 x ) )
598, 11, 58eqfnfvd 5994 . . . 4  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  G  =  F )
6059eqcomd 2437 . . 3  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  F  =  G )
6160ex 435 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A )  ->  F  =  G ) )
625, 61impbid 193 1  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  =  G  <->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870   <.cop 4008   class class class wbr 4426    _I cid 4764   `'ccnv 4853   dom cdm 4854    |` cres 4856    o. ccom 4858   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -1-1->wf1 5598   ` cfv 5601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609
This theorem is referenced by:  weisoeq  6261
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