MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1eq1 Structured version   Unicode version

Theorem f1eq1 5598
Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
f1eq1  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  G : A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem f1eq1
StepHypRef Expression
1 feq1 5539 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A --> B  <->  G : A
--> B ) )
2 cnveq 5009 . . . 4  |-  ( F  =  G  ->  `' F  =  `' G
)
32funeqd 5436 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  ( Fun  `' F  <->  Fun  `' G ) )
41, 3anbi12d 705 . 2  |-  ( F  =  G  ->  (
( F : A --> B  /\  Fun  `' F
)  <->  ( G : A
--> B  /\  Fun  `' G ) ) )
5 df-f1 5420 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  Fun  `' F ) )
6 df-f1 5420 . 2  |-  ( G : A -1-1-> B  <->  ( G : A --> B  /\  Fun  `' G ) )
74, 5, 63bitr4g 288 1  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  G : A -1-1-> B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364   `'ccnv 4835   Fun wfun 5409   -->wf 5411   -1-1->wf1 5412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-br 4290  df-opab 4348  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420
This theorem is referenced by:  f1oeq1  5629  f1eq123d  5633  fo00  5671  fun11iun  6536  tposf12  6769  oacomf1olem  6999  f1dom2g  7323  f1domg  7325  dom3d  7347  domtr  7358  domssex2  7467  1sdom  7511  marypha1lem  7679  fseqenlem1  8190  dfac12lem2  8309  dfac12lem3  8310  ackbij2  8408  fin23lem28  8505  fin23lem32  8509  fin23lem34  8511  fin23lem35  8512  fin23lem41  8517  iundom2g  8700  pwfseqlem5  8826  hashf1lem1  12204  hashf1lem2  12205  hashf1  12206  4sqlem11  14012  conjsubgen  15772  sylow1lem2  16091  sylow2blem1  16112  hauspwpwf1  19519  axlowdim  23142  isuslgra  23206  isusgra  23207  usgrares  23223  sizeusglecusg  23329  2trllemE  23387  constr1trl  23422  specval  25237  zrhchr  26341  qqhre  26382  eldioph2lem2  29024
  Copyright terms: Public domain W3C validator