Theorem f1eq1 4605

Description: Equality theorem for one-to-one functions.

Assertion

Ref	Expression
f1eq1	|- (F = G -> (F:A-1-1->B <-> G:A-1-1->B))

Proof of Theorem f1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 4551	. . 3 |- (F = G -> (F:A-->B <-> G:A-->B))
2		cnveq 4135	. . . 4 |- (F = G -> `'F = `'G)
3		funeq 4441	. . . 4 |- (`'F = `'G -> (Fun `'F <-> Fun `'G))
4	2, 3	syl 12	. . 3 |- (F = G -> (Fun `'F <-> Fun `'G))
5	1, 4	anbi12d 690	. 2 |- (F = G -> ((F:A-->B /\ Fun `'F) <-> (G:A-->B /\ Fun `'G)))
6		df-f1 4011	. 2 |- (F:A-1-1->B <-> (F:A-->B /\ Fun `'F))
7		df-f1 4011	. 2 |- (G:A-1-1->B <-> (G:A-->B /\ Fun `'G))
8	5, 6, 7	3bitr4g 614	1 |- (F = G -> (F:A-1-1->B <-> G:A-1-1->B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298  `'ccnv 3985  Fun wfun 3992  -->wf 3994  -1-1->wf1 3995

This theorem is referenced by:  f1oeq1 4630  fo00 4669  f1domg 5455  unidom 5970  infxpidmlem7 8827  specval 11461

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011

Copyright terms: Public domain