Theorem f1elima 15719

Description: Membership in the image of a 1-1 map.

Assertion

Ref	Expression
f1elima	|- ((F:A-1-1->B /\ X e. A /\ Y C_ A) -> ((F` X) e. (F"Y) <-> X e. Y))

Proof of Theorem f1elima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvelimab 4725	. . . 4 |- ((F Fn A /\ Y C_ A) -> ((F` X) e. (F"Y) <-> E.z e. Y (F` z) = (F` X)))
2		f1f 4610	. . . . 5 |- (F:A-1-1->B -> F:A-->B)
3		ffn 4562	. . . . 5 |- (F:A-->B -> F Fn A)
4	2, 3	syl 12	. . . 4 |- (F:A-1-1->B -> F Fn A)
5	1, 4	sylan 497	. . 3 |- ((F:A-1-1->B /\ Y C_ A) -> ((F` X) e. (F"Y) <-> E.z e. Y (F` z) = (F` X)))
6	5	3adant2 895	. 2 |- ((F:A-1-1->B /\ X e. A /\ Y C_ A) -> ((F` X) e. (F"Y) <-> E.z e. Y (F` z) = (F` X)))
7		f1fveq 4852	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F:A-1-1->B /\ (z e. A /\ X e. A)) -> ((F` z) = (F` X) <-> z = X))
8	7	ancom2s 545	. . . . . . . . . . 11 |- ((F:A-1-1->B /\ (X e. A /\ z e. A)) -> ((F` z) = (F` X) <-> z = X))
9	8	biimpd 170	. . . . . . . . . 10 |- ((F:A-1-1->B /\ (X e. A /\ z e. A)) -> ((F` z) = (F` X) -> z = X))
10	9	anassrs 489	. . . . . . . . 9 |- (((F:A-1-1->B /\ X e. A) /\ z e. A) -> ((F` z) = (F` X) -> z = X))
11		eleq1 1957	. . . . . . . . . 10 |- (z = X -> (z e. Y <-> X e. Y))
12	11	biimpcd 172	. . . . . . . . 9 |- (z e. Y -> (z = X -> X e. Y))
13	10, 12	sylan9 517	. . . . . . . 8 |- ((((F:A-1-1->B /\ X e. A) /\ z e. A) /\ z e. Y) -> ((F` z) = (F` X) -> X e. Y))
14	13	anasss 488	. . . . . . 7 |- (((F:A-1-1->B /\ X e. A) /\ (z e. A /\ z e. Y)) -> ((F` z) = (F` X) -> X e. Y))
15		ssel 2615	. . . . . . . 8 |- (Y C_ A -> (z e. Y -> z e. A))
16	15	impac 423	. . . . . . 7 |- ((Y C_ A /\ z e. Y) -> (z e. A /\ z e. Y))
17	14, 16	sylan2 500	. . . . . 6 |- (((F:A-1-1->B /\ X e. A) /\ (Y C_ A /\ z e. Y)) -> ((F` z) = (F` X) -> X e. Y))
18	17	anassrs 489	. . . . 5 |- ((((F:A-1-1->B /\ X e. A) /\ Y C_ A) /\ z e. Y) -> ((F` z) = (F` X) -> X e. Y))
19	18	r19.23adva 2216	. . . 4 |- (((F:A-1-1->B /\ X e. A) /\ Y C_ A) -> (E.z e. Y (F` z) = (F` X) -> X e. Y))
20	19	3impa 1062	. . 3 |- ((F:A-1-1->B /\ X e. A /\ Y C_ A) -> (E.z e. Y (F` z) = (F` X) -> X e. Y))
21		eqid 1884	. . . 4 |- (F` X) = (F` X)
22		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (z = X -> (F` z) = (F` X))
23	22	eqeq1d 1892	. . . . 5 |- (z = X -> ((F` z) = (F` X) <-> (F` X) = (F` X)))
24	23	rcla4ev 2381	. . . 4 |- ((X e. Y /\ (F` X) = (F` X)) -> E.z e. Y (F` z) = (F` X))
25	21, 24	mpan2 760	. . 3 |- (X e. Y -> E.z e. Y (F` z) = (F` X))
26	20, 25	impbid1 575	. 2 |- ((F:A-1-1->B /\ X e. A /\ Y C_ A) -> (E.z e. Y (F` z) = (F` X) <-> X e. Y))
27	6, 26	bitrd 587	1 |- ((F:A-1-1->B /\ X e. A /\ Y C_ A) -> ((F` X) e. (F"Y) <-> X e. Y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   C_ wss 2593  "cima 3989   Fn wfn 3993  -->wf 3994  -1-1->wf1 3995  ` cfv 3998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain