MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1domg Structured version   Unicode version

Theorem f1domg 7329
Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1domg  |-  ( B  e.  C  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  A  ~<_  B ) )

Proof of Theorem f1domg
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1dmex 6547 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  B  e.  C
)  ->  A  e.  _V )
2 f1f 5606 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A --> B )
3 fex 5950 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
42, 3sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  A  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
51, 4syldan 470 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  B  e.  C
)  ->  F  e.  _V )
65expcom 435 . . 3  |-  ( B  e.  C  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  F  e.  _V )
)
7 f1eq1 5601 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f : A -1-1-> B  <->  F : A -1-1-> B ) )
87spcegv 3058 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  E. f  f : A -1-1-> B ) )
96, 8syli 37 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  E. f  f : A -1-1-> B ) )
10 brdomg 7320 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
119, 10sylibrd 234 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  A  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4   E.wex 1586    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   class class class wbr 4292   -->wf 5414   -1-1->wf1 5415    ~<_ cdom 7308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-dom 7312
This theorem is referenced by:  f1dom  7331  dom2d  7350  fseqen  8197  infpssrlem5  8476  hashf1  12210  vdwlem12  14053  2ndcdisj  19060  ovolicc2lem4  21003  basellem4  22421  usgraedgleord  23312
  Copyright terms: Public domain W3C validator