MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1dmex Structured version   Unicode version

Theorem f1dmex 6753
Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This theorem is equivalent to the Axiom of Replacement ax-rep 4506. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1dmex  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  B  e.  C
)  ->  A  e.  _V )

Proof of Theorem f1dmex
StepHypRef Expression
1 f1f 5763 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A --> B )
2 frn 5719 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  ran  F  C_  B )
4 ssexg 4539 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  C_  B  /\  B  e.  C
)  ->  ran  F  e. 
_V )
53, 4sylan 469 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  B  e.  C
)  ->  ran  F  e. 
_V )
65ex 432 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( B  e.  C  ->  ran  F  e.  _V ) )
7 f1cnv 5821 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  `' F : ran  F -1-1-onto-> A
)
8 f1ofo 5805 . . . 4  |-  ( `' F : ran  F -1-1-onto-> A  ->  `' F : ran  F -onto-> A )
97, 8syl 17 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  `' F : ran  F -onto-> A )
10 fornex 6752 . . 3  |-  ( ran 
F  e.  _V  ->  ( `' F : ran  F -onto-> A  ->  A  e.  _V ) )
116, 9, 10syl6ci 64 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( B  e.  C  ->  A  e.  _V )
)
1211imp 427 1  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  B  e.  C
)  ->  A  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   `'ccnv 4821   ran crn 4823   -->wf 5564   -1-1->wf1 5565   -onto->wfo 5566   -1-1-onto->wf1o 5567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576
This theorem is referenced by:  f1ovv  6754  f1domg  7572  ordtypelem10  7985  oiexg  7993  inf3lem7  8083  pwfseqlem4  9069  pwfseqlem5  9070  grothomex  9236  gsumzf1o  17239  gsumzf1oOLD  17242  dprdf1o  17397  f1lindf  19147  tsmsf1o  20937  diophrw  35033
  Copyright terms: Public domain W3C validator