MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1cocnv1 Structured version   Unicode version

Theorem f1cocnv1 5753
Description: Composition of an injective function with its converse. (Contributed by FL, 11-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
f1cocnv1  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A )
)

Proof of Theorem f1cocnv1
StepHypRef Expression
1 f1f1orn 5735 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F )
2 f1ococnv1 5752 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> ran  F  ->  ( `' F  o.  F
)  =  (  _I  |`  A ) )
31, 2syl 16 1  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    _I cid 4704   `'ccnv 4912   ran crn 4914    |` cres 4915    o. ccom 4917   -1-1->wf1 5493   -1-1-onto->wf1o 5495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-br 4368  df-opab 4426  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503
This theorem is referenced by:  f1eqcocnv  6105  domss2  7595  diophrw  30857
  Copyright terms: Public domain W3C validator