Theorem f1co 4612

Description: Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25.

Assertion

Ref	Expression
f1co	|- ((F:B-1-1->C /\ G:A-1-1->B) -> (F o. G):A-1-1->C)

Proof of Theorem f1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fco 4573	. . . 4 |- ((F:B-->C /\ G:A-->B) -> (F o. G):A-->C)
2		funco 4457	. . . . . 6 |- ((Fun `'G /\ Fun `'F) -> Fun (`'G o. `'F))
3		cnvco 4145	. . . . . . 7 |- `'(F o. G) = (`'G o. `'F)
4		funeq 4441	. . . . . . 7 |- (`'(F o. G) = (`'G o. `'F) -> (Fun `'(F o. G) <-> Fun (`'G o. `'F)))
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (Fun `'(F o. G) <-> Fun (`'G o. `'F))
6	2, 5	sylibr 217	. . . . 5 |- ((Fun `'G /\ Fun `'F) -> Fun `'(F o. G))
7	6	ancoms 484	. . . 4 |- ((Fun `'F /\ Fun `'G) -> Fun `'(F o. G))
8	1, 7	anim12i 360	. . 3 |- (((F:B-->C /\ G:A-->B) /\ (Fun `'F /\ Fun `'G)) -> ((F o. G):A-->C /\ Fun `'(F o. G)))
9	8	an4s 566	. 2 |- (((F:B-->C /\ Fun `'F) /\ (G:A-->B /\ Fun `'G)) -> ((F o. G):A-->C /\ Fun `'(F o. G)))
10		df-f1 4011	. . 3 |- (F:B-1-1->C <-> (F:B-->C /\ Fun `'F))
11		df-f1 4011	. . 3 |- (G:A-1-1->B <-> (G:A-->B /\ Fun `'G))
12	10, 11	anbi12i 540	. 2 |- ((F:B-1-1->C /\ G:A-1-1->B) <-> ((F:B-->C /\ Fun `'F) /\ (G:A-->B /\ Fun `'G)))
13		df-f1 4011	. 2 |- ((F o. G):A-1-1->C <-> ((F o. G):A-->C /\ Fun `'(F o. G)))
14	9, 12, 13	3imtr4i 236	1 |- ((F:B-1-1->C /\ G:A-1-1->B) -> (F o. G):A-1-1->C)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298  `'ccnv 3985   o. ccom 3990  Fun wfun 3992  -->wf 3994  -1-1->wf1 3995

This theorem is referenced by:  f1oco 4661  domtr 5474

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011

Copyright terms: Public domain