Theorem f1co 3742

Description: Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25.

Assertion

Ref	Expression
f1co	|- ((F:B-1-1->C /\ G:A-1-1->B) -> (F o. G):A-1-1->C)

Proof of Theorem f1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fco 3711	. . . 4 |- ((F:B-->C /\ G:A-->B) -> (F o. G):A-->C)
2		funco 3625	. . . . . 6 |- ((Fun `'G /\ Fun `'F) -> Fun (`'G o. `'F))
3		cnvco 3364	. . . . . . 7 |- `'(F o. G) = (`'G o. `'F)
4		funeq 3610	. . . . . . 7 |- (`'(F o. G) = (`'G o. `'F) -> (Fun `'(F o. G) <-> Fun (`'G o. `'F)))
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (Fun `'(F o. G) <-> Fun (`'G o. `'F))
6	2, 5	sylibr 198	. . . . 5 |- ((Fun `'G /\ Fun `'F) -> Fun `'(F o. G))
7	6	ancoms 438	. . . 4 |- ((Fun `'F /\ Fun `'G) -> Fun `'(F o. G))
8	1, 7	anim12i 331	. . 3 |- (((F:B-->C /\ G:A-->B) /\ (Fun `'F /\ Fun `'G)) -> ((F o. G):A-->C /\ Fun `'(F o. G)))
9	8	an4s 510	. 2 |- (((F:B-->C /\ Fun `'F) /\ (G:A-->B /\ Fun `'G)) -> ((F o. G):A-->C /\ Fun `'(F o. G)))
10		df-f1 3250	. . 3 |- (F:B-1-1->C <-> (F:B-->C /\ Fun `'F))
11		df-f1 3250	. . 3 |- (G:A-1-1->B <-> (G:A-->B /\ Fun `'G))
12	10, 11	anbi12i 484	. 2 |- ((F:B-1-1->C /\ G:A-1-1->B) <-> ((F:B-->C /\ Fun `'F) /\ (G:A-->B /\ Fun `'G)))
13		df-f1 3250	. 2 |- ((F o. G):A-1-1->C <-> ((F o. G):A-->C /\ Fun `'(F o. G)))
14	9, 12, 13	3imtr4i 217	1 |- ((F:B-1-1->C /\ G:A-1-1->B) -> (F o. G):A-1-1->C)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 988  `'ccnv 3224   o. ccom 3229  Fun wfun 3231  -->wf 3233  -1-1->wf1 3234

This theorem is referenced by:  f1oco 3783  domtr 4502

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-sep 2754  ax-pow 2794  ax-pr 2832

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250

Copyright terms: Public domain