MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f13dfv Structured version   Unicode version

Theorem f13dfv 6155
Description: A one-to-one function with a domain with at least three different elements in terms of function values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
f13dfv.a  |-  A  =  { X ,  Y ,  Z }
Assertion
Ref Expression
f13dfv  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  (
( F `  X
)  =/=  ( F `
 Y )  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Z )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z
) ) ) ) )

Proof of Theorem f13dfv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dff14b 6153 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  ( A  \  { x } ) ( F `  x
)  =/=  ( F `
 y ) ) )
2 f13dfv.a . . . . 5  |-  A  =  { X ,  Y ,  Z }
32raleqi 3055 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  ( A  \  { x } ) ( F `  x
)  =/=  ( F `
 y )  <->  A. x  e.  { X ,  Y ,  Z } A. y  e.  ( A  \  {
x } ) ( F `  x )  =/=  ( F `  y ) )
4 sneq 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  { x }  =  { X } )
54difeq2d 3608 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A  \  { x }
)  =  ( A 
\  { X }
) )
6 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
76neeq1d 2731 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
)  =/=  ( F `
 y )  <->  ( F `  X )  =/=  ( F `  y )
) )
85, 7raleqbidv 3065 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( A. y  e.  ( A  \  { x }
) ( F `  x )  =/=  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( A 
\  { X }
) ( F `  X )  =/=  ( F `  y )
) )
9 sneq 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  { x }  =  { Y } )
109difeq2d 3608 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  \  { x }
)  =  ( A 
\  { Y }
) )
11 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  Y ) )
1211neeq1d 2731 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  (
( F `  x
)  =/=  ( F `
 y )  <->  ( F `  Y )  =/=  ( F `  y )
) )
1310, 12raleqbidv 3065 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( A. y  e.  ( A  \  { x }
) ( F `  x )  =/=  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( A 
\  { Y }
) ( F `  Y )  =/=  ( F `  y )
) )
14 sneq 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Z  ->  { x }  =  { Z } )
1514difeq2d 3608 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Z  ->  ( A  \  { x }
)  =  ( A 
\  { Z }
) )
16 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  Z ) )
1716neeq1d 2731 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Z  ->  (
( F `  x
)  =/=  ( F `
 y )  <->  ( F `  Z )  =/=  ( F `  y )
) )
1815, 17raleqbidv 3065 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Z  ->  ( A. y  e.  ( A  \  { x }
) ( F `  x )  =/=  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( A 
\  { Z }
) ( F `  Z )  =/=  ( F `  y )
) )
198, 13, 18raltpg 4067 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( A. x  e. 
{ X ,  Y ,  Z } A. y  e.  ( A  \  {
x } ) ( F `  x )  =/=  ( F `  y )  <->  ( A. y  e.  ( A  \  { X } ) ( F `  X
)  =/=  ( F `
 y )  /\  A. y  e.  ( A 
\  { Y }
) ( F `  Y )  =/=  ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  { Z } ) ( F `
 Z )  =/=  ( F `  y
) ) ) )
2019adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  ( A. x  e.  { X ,  Y ,  Z } A. y  e.  ( A  \  { x }
) ( F `  x )  =/=  ( F `  y )  <->  ( A. y  e.  ( A  \  { X } ) ( F `
 X )  =/=  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  ( A  \  { Y } ) ( F `
 Y )  =/=  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  ( A  \  { Z } ) ( F `
 Z )  =/=  ( F `  y
) ) ) )
212difeq1i 3604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  { X }
)  =  ( { X ,  Y ,  Z }  \  { X } )
22 tprot 4111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { X ,  Y ,  Z }  =  { Y ,  Z ,  X }
2322difeq1i 3604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { X ,  Y ,  Z }  \  { X } )  =  ( { Y ,  Z ,  X }  \  { X } )
24 necom 2723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  =/=  Y  <->  Y  =/=  X )
25 necom 2723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  =/=  Z  <->  Z  =/=  X )
2624, 25anbi12i 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z )  <->  ( Y  =/=  X  /\  Z  =/= 
X ) )
2726biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z )  -> 
( Y  =/=  X  /\  Z  =/=  X
) )
28273adant3 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( Y  =/=  X  /\  Z  =/=  X ) )
29 diftpsn3 4154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  =/=  X  /\  Z  =/=  X )  -> 
( { Y ,  Z ,  X }  \  { X } )  =  { Y ,  Z } )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( { Y ,  Z ,  X }  \  { X } )  =  { Y ,  Z }
)
3123, 30syl5eq 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( { X ,  Y ,  Z }  \  { X } )  =  { Y ,  Z }
)
3221, 31syl5eq 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( A  \  { X }
)  =  { Y ,  Z } )
3332adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  ( A  \  { X }
)  =  { Y ,  Z } )
3433raleqdv 3057 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( A  \  { X }
) ( F `  X )  =/=  ( F `  y )  <->  A. y  e.  { Y ,  Z }  ( F `
 X )  =/=  ( F `  y
) ) )
35 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  ( F `  y )  =  ( F `  Y ) )
3635neeq2d 2732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
( F `  X
)  =/=  ( F `
 y )  <->  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )
) )
37 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  Z ) )
3837neeq2d 2732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Z  ->  (
( F `  X
)  =/=  ( F `
 y )  <->  ( F `  X )  =/=  ( F `  Z )
) )
3936, 38ralprg 4065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( A. y  e. 
{ Y ,  Z }  ( F `  X )  =/=  ( F `  y )  <->  ( ( F `  X
)  =/=  ( F `
 Y )  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Z ) ) ) )
40393adant1 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( A. y  e. 
{ Y ,  Z }  ( F `  X )  =/=  ( F `  y )  <->  ( ( F `  X
)  =/=  ( F `
 Y )  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Z ) ) ) )
4140adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  ( A. y  e.  { Y ,  Z }  ( F `
 X )  =/=  ( F `  y
)  <->  ( ( F `
 X )  =/=  ( F `  Y
)  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Z )
) ) )
4234, 41bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( A  \  { X }
) ( F `  X )  =/=  ( F `  y )  <->  ( ( F `  X
)  =/=  ( F `
 Y )  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Z ) ) ) )
432difeq1i 3604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  { Y }
)  =  ( { X ,  Y ,  Z }  \  { Y } )
44 tpcomb 4113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { X ,  Y ,  Z }  =  { X ,  Z ,  Y }
4544difeq1i 3604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { X ,  Y ,  Z }  \  { Y } )  =  ( { X ,  Z ,  Y }  \  { Y } )
46 necom 2723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  =/=  Z  <->  Z  =/=  Y )
4746biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y  =/=  Z  ->  Z  =/=  Y )
4847anim2i 567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  Y  =/=  Z )  -> 
( X  =/=  Y  /\  Z  =/=  Y
) )
49483adant2 1013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( X  =/=  Y  /\  Z  =/=  Y ) )
50 diftpsn3 4154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  Z  =/=  Y )  -> 
( { X ,  Z ,  Y }  \  { Y } )  =  { X ,  Z } )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( { X ,  Z ,  Y }  \  { Y } )  =  { X ,  Z }
)
5245, 51syl5eq 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( { X ,  Y ,  Z }  \  { Y } )  =  { X ,  Z }
)
5343, 52syl5eq 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( A  \  { Y }
)  =  { X ,  Z } )
5453adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  ( A  \  { Y }
)  =  { X ,  Z } )
5554raleqdv 3057 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( A  \  { Y }
) ( F `  Y )  =/=  ( F `  y )  <->  A. y  e.  { X ,  Z }  ( F `
 Y )  =/=  ( F `  y
) ) )
56 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  X  ->  ( F `  y )  =  ( F `  X ) )
5756neeq2d 2732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  X  ->  (
( F `  Y
)  =/=  ( F `
 y )  <->  ( F `  Y )  =/=  ( F `  X )
) )
5837neeq2d 2732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Z  ->  (
( F `  Y
)  =/=  ( F `
 y )  <->  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z )
) )
5957, 58ralprg 4065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  U  /\  Z  e.  W )  ->  ( A. y  e. 
{ X ,  Z }  ( F `  Y )  =/=  ( F `  y )  <->  ( ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 X )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z ) ) ) )
60593adant2 1013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( A. y  e. 
{ X ,  Z }  ( F `  Y )  =/=  ( F `  y )  <->  ( ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 X )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z ) ) ) )
6160adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  ( A. y  e.  { X ,  Z }  ( F `
 Y )  =/=  ( F `  y
)  <->  ( ( F `
 Y )  =/=  ( F `  X
)  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z )
) ) )
6255, 61bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( A  \  { Y }
) ( F `  Y )  =/=  ( F `  y )  <->  ( ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 X )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z ) ) ) )
632difeq1i 3604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  { Z }
)  =  ( { X ,  Y ,  Z }  \  { Z } )
64 diftpsn3 4154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  -> 
( { X ,  Y ,  Z }  \  { Z } )  =  { X ,  Y } )
65643adant1 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( { X ,  Y ,  Z }  \  { Z } )  =  { X ,  Y }
)
6663, 65syl5eq 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( A  \  { Z }
)  =  { X ,  Y } )
6766adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  ( A  \  { Z }
)  =  { X ,  Y } )
6867raleqdv 3057 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( A  \  { Z }
) ( F `  Z )  =/=  ( F `  y )  <->  A. y  e.  { X ,  Y }  ( F `
 Z )  =/=  ( F `  y
) ) )
6956neeq2d 2732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  X  ->  (
( F `  Z
)  =/=  ( F `
 y )  <->  ( F `  Z )  =/=  ( F `  X )
) )
7035neeq2d 2732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
( F `  Z
)  =/=  ( F `
 y )  <->  ( F `  Z )  =/=  ( F `  Y )
) )
7169, 70ralprg 4065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V )  ->  ( A. y  e. 
{ X ,  Y }  ( F `  Z )  =/=  ( F `  y )  <->  ( ( F `  Z
)  =/=  ( F `
 X )  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  Y ) ) ) )
72713adant3 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( A. y  e. 
{ X ,  Y }  ( F `  Z )  =/=  ( F `  y )  <->  ( ( F `  Z
)  =/=  ( F `
 X )  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  Y ) ) ) )
7372adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  ( A. y  e.  { X ,  Y }  ( F `
 Z )  =/=  ( F `  y
)  <->  ( ( F `
 Z )  =/=  ( F `  X
)  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  Y )
) ) )
7468, 73bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( A  \  { Z }
) ( F `  Z )  =/=  ( F `  y )  <->  ( ( F `  Z
)  =/=  ( F `
 X )  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  Y ) ) ) )
7542, 62, 743anbi123d 1297 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  (
( A. y  e.  ( A  \  { X } ) ( F `
 X )  =/=  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  ( A  \  { Y } ) ( F `
 Y )  =/=  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  ( A  \  { Z } ) ( F `
 Z )  =/=  ( F `  y
) )  <->  ( (
( F `  X
)  =/=  ( F `
 Y )  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Z ) )  /\  ( ( F `  Y )  =/=  ( F `  X )  /\  ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 Z ) )  /\  ( ( F `
 Z )  =/=  ( F `  X
)  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  Y )
) ) ) )
76 ancom 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 X )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z ) )  <->  ( ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z
)  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  X )
) )
77763anbi2i 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )  /\  ( F `  X
)  =/=  ( F `
 Z ) )  /\  ( ( F `
 Y )  =/=  ( F `  X
)  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z )
)  /\  ( ( F `  Z )  =/=  ( F `  X
)  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  Y )
) )  <->  ( (
( F `  X
)  =/=  ( F `
 Y )  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Z ) )  /\  ( ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z )  /\  ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 X ) )  /\  ( ( F `
 Z )  =/=  ( F `  X
)  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  Y )
) ) )
78 3an6 1307 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )  /\  ( F `  X
)  =/=  ( F `
 Z ) )  /\  ( ( F `
 Y )  =/=  ( F `  Z
)  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  X )
)  /\  ( ( F `  Z )  =/=  ( F `  X
)  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  Y )
) )  <->  ( (
( F `  X
)  =/=  ( F `
 Y )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z )  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  X
) )  /\  (
( F `  X
)  =/=  ( F `
 Z )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  X )  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  Y
) ) ) )
79 3anrot 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  Z
)  =/=  ( F `
 X )  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z
) )  <->  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Y
)  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z )  /\  ( F `  Z
)  =/=  ( F `
 X ) ) )
8079bicomi 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  X
)  =/=  ( F `
 Y )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z )  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  X
) )  <->  ( ( F `  Z )  =/=  ( F `  X
)  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )  /\  ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 Z ) ) )
81 necom 2723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Z )  <->  ( F `  Z )  =/=  ( F `  X )
)
82 necom 2723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  Y )  =/=  ( F `  X )  <->  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )
)
83 necom 2723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  Z )  =/=  ( F `  Y )  <->  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z )
)
8481, 82, 833anbi123i 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  X
)  =/=  ( F `
 Z )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  X )  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  Y
) )  <->  ( ( F `  Z )  =/=  ( F `  X
)  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )  /\  ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 Z ) ) )
8580, 84anbi12i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )  /\  ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 Z )  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  X ) )  /\  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Z )  /\  ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 X )  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  Y ) ) )  <-> 
( ( ( F `
 Z )  =/=  ( F `  X
)  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )  /\  ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 Z ) )  /\  ( ( F `
 Z )  =/=  ( F `  X
)  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )  /\  ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 Z ) ) ) )
86 anidm 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  Z )  =/=  ( F `  X )  /\  ( F `  X
)  =/=  ( F `
 Y )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z ) )  /\  ( ( F `  Z )  =/=  ( F `  X )  /\  ( F `  X
)  =/=  ( F `
 Y )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z ) ) )  <-> 
( ( F `  Z )  =/=  ( F `  X )  /\  ( F `  X
)  =/=  ( F `
 Y )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z ) ) )
87 3ancoma 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  Z
)  =/=  ( F `
 X )  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z
) )  <->  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Y
)  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  X )  /\  ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 Z ) ) )
88 necom 2723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  Z )  =/=  ( F `  X )  <->  ( F `  X )  =/=  ( F `  Z )
)
89883anbi2i 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  X
)  =/=  ( F `
 Y )  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  X )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z
) )  <->  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Y
)  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Z )  /\  ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 Z ) ) )
9087, 89bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  Z
)  =/=  ( F `
 X )  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z
) )  <->  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Y
)  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Z )  /\  ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 Z ) ) )
9185, 86, 903bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )  /\  ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 Z )  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  X ) )  /\  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Z )  /\  ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 X )  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  Y ) ) )  <-> 
( ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )  /\  ( F `  X
)  =/=  ( F `
 Z )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z ) ) )
9277, 78, 913bitri 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )  /\  ( F `  X
)  =/=  ( F `
 Z ) )  /\  ( ( F `
 Y )  =/=  ( F `  X
)  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z )
)  /\  ( ( F `  Z )  =/=  ( F `  X
)  /\  ( F `  Z )  =/=  ( F `  Y )
) )  <->  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Y
)  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Z )  /\  ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 Z ) ) )
9375, 92syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  (
( A. y  e.  ( A  \  { X } ) ( F `
 X )  =/=  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  ( A  \  { Y } ) ( F `
 Y )  =/=  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  ( A  \  { Z } ) ( F `
 Z )  =/=  ( F `  y
) )  <->  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Y
)  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Z )  /\  ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 Z ) ) ) )
9420, 93bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  ( A. x  e.  { X ,  Y ,  Z } A. y  e.  ( A  \  { x }
) ( F `  x )  =/=  ( F `  y )  <->  ( ( F `  X
)  =/=  ( F `
 Y )  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Z )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z
) ) ) )
953, 94syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  ( A  \  { x }
) ( F `  x )  =/=  ( F `  y )  <->  ( ( F `  X
)  =/=  ( F `
 Y )  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Z )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z
) ) ) )
9695anbi2d 701 . 2  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  (
( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  ( A  \  {
x } ) ( F `  x )  =/=  ( F `  y ) )  <->  ( F : A --> B  /\  (
( F `  X
)  =/=  ( F `
 Y )  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Z )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z
) ) ) ) )
971, 96syl5bb 257 1  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  (
( F `  X
)  =/=  ( F `
 Y )  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Z )  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  Z
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804    \ cdif 3458   {csn 4016   {cpr 4018   {ctp 4020   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   ` cfv 5570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fv 5578
This theorem is referenced by:  f13idfv  12091  usgra2wlkspthlem2  24825
  Copyright terms: Public domain W3C validator