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Theorem f12dfv 6178
Description: A one-to-one function with a domain with at least two different elements in terms of function values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
f12dfv.a  |-  A  =  { X ,  Y }
Assertion
Ref Expression
f12dfv  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  X  =/=  Y )  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A
--> B  /\  ( F `
 X )  =/=  ( F `  Y
) ) ) )

Proof of Theorem f12dfv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dff14b 6177 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  ( A  \  { x } ) ( F `  x
)  =/=  ( F `
 y ) ) )
2 f12dfv.a . . . . 5  |-  A  =  { X ,  Y }
32raleqi 3067 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  ( A  \  { x } ) ( F `  x
)  =/=  ( F `
 y )  <->  A. x  e.  { X ,  Y } A. y  e.  ( A  \  { x } ) ( F `
 x )  =/=  ( F `  y
) )
4 sneq 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  { x }  =  { X } )
54difeq2d 3627 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A  \  { x }
)  =  ( A 
\  { X }
) )
6 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
76neeq1d 2744 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
)  =/=  ( F `
 y )  <->  ( F `  X )  =/=  ( F `  y )
) )
85, 7raleqbidv 3077 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( A. y  e.  ( A  \  { x }
) ( F `  x )  =/=  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( A 
\  { X }
) ( F `  X )  =/=  ( F `  y )
) )
9 sneq 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  { x }  =  { Y } )
109difeq2d 3627 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  \  { x }
)  =  ( A 
\  { Y }
) )
11 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  Y ) )
1211neeq1d 2744 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  (
( F `  x
)  =/=  ( F `
 y )  <->  ( F `  Y )  =/=  ( F `  y )
) )
1310, 12raleqbidv 3077 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( A. y  e.  ( A  \  { x }
) ( F `  x )  =/=  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( A 
\  { Y }
) ( F `  Y )  =/=  ( F `  y )
) )
148, 13ralprg 4082 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V )  ->  ( A. x  e. 
{ X ,  Y } A. y  e.  ( A  \  { x } ) ( F `
 x )  =/=  ( F `  y
)  <->  ( A. y  e.  ( A  \  { X } ) ( F `
 X )  =/=  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  ( A  \  { Y } ) ( F `
 Y )  =/=  ( F `  y
) ) ) )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  X  =/=  Y )  ->  ( A. x  e.  { X ,  Y } A. y  e.  ( A  \  {
x } ) ( F `  x )  =/=  ( F `  y )  <->  ( A. y  e.  ( A  \  { X } ) ( F `  X
)  =/=  ( F `
 y )  /\  A. y  e.  ( A 
\  { Y }
) ( F `  Y )  =/=  ( F `  y )
) ) )
162difeq1i 3623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  { X }
)  =  ( { X ,  Y }  \  { X } )
17 difprsn1 4169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =/=  Y  ->  ( { X ,  Y }  \  { X } )  =  { Y }
)
1816, 17syl5eq 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =/=  Y  ->  ( A  \  { X }
)  =  { Y } )
1918adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  X  =/=  Y )  ->  ( A  \  { X } )  =  { Y }
)
2019raleqdv 3069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  X  =/=  Y )  ->  ( A. y  e.  ( A  \  { X } ) ( F `  X
)  =/=  ( F `
 y )  <->  A. y  e.  { Y }  ( F `  X )  =/=  ( F `  y
) ) )
21 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  ( F `  y )  =  ( F `  Y ) )
2221neeq2d 2745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
( F `  X
)  =/=  ( F `
 y )  <->  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )
) )
2322ralsng 4068 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  V  ->  ( A. y  e.  { Y }  ( F `  X )  =/=  ( F `  y )  <->  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y ) ) )
2423adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V )  ->  ( A. y  e. 
{ Y }  ( F `  X )  =/=  ( F `  y
)  <->  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )
) )
2524adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  X  =/=  Y )  ->  ( A. y  e.  { Y }  ( F `  X )  =/=  ( F `  y )  <->  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y ) ) )
2620, 25bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  X  =/=  Y )  ->  ( A. y  e.  ( A  \  { X } ) ( F `  X
)  =/=  ( F `
 y )  <->  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )
) )
272difeq1i 3623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  { Y }
)  =  ( { X ,  Y }  \  { Y } )
28 difprsn2 4170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =/=  Y  ->  ( { X ,  Y }  \  { Y } )  =  { X }
)
2927, 28syl5eq 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =/=  Y  ->  ( A  \  { Y }
)  =  { X } )
3029adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  X  =/=  Y )  ->  ( A  \  { Y } )  =  { X }
)
3130raleqdv 3069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  X  =/=  Y )  ->  ( A. y  e.  ( A  \  { Y } ) ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 y )  <->  A. y  e.  { X }  ( F `  Y )  =/=  ( F `  y
) ) )
32 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  X  ->  ( F `  y )  =  ( F `  X ) )
3332neeq2d 2745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  X  ->  (
( F `  Y
)  =/=  ( F `
 y )  <->  ( F `  Y )  =/=  ( F `  X )
) )
3433ralsng 4068 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  U  ->  ( A. y  e.  { X }  ( F `  Y )  =/=  ( F `  y )  <->  ( F `  Y )  =/=  ( F `  X ) ) )
3534adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V )  ->  ( A. y  e. 
{ X }  ( F `  Y )  =/=  ( F `  y
)  <->  ( F `  Y )  =/=  ( F `  X )
) )
3635adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  X  =/=  Y )  ->  ( A. y  e.  { X }  ( F `  Y )  =/=  ( F `  y )  <->  ( F `  Y )  =/=  ( F `  X ) ) )
3731, 36bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  X  =/=  Y )  ->  ( A. y  e.  ( A  \  { Y } ) ( F `  Y
)  =/=  ( F `
 y )  <->  ( F `  Y )  =/=  ( F `  X )
) )
3826, 37anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  X  =/=  Y )  ->  ( ( A. y  e.  ( A  \  { X }
) ( F `  X )  =/=  ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  { Y } ) ( F `
 Y )  =/=  ( F `  y
) )  <->  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Y
)  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  X )
) ) )
39 necom 2736 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )  <->  ( F `  Y )  =/=  ( F `  X )
)
4039biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )  ->  ( F `  Y )  =/=  ( F `  X
) )
4140pm4.71i 632 . . . . . 6  |-  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )  <->  ( ( F `  X )  =/=  ( F `  Y
)  /\  ( F `  Y )  =/=  ( F `  X )
) )
4238, 41syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  X  =/=  Y )  ->  ( ( A. y  e.  ( A  \  { X }
) ( F `  X )  =/=  ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  { Y } ) ( F `
 Y )  =/=  ( F `  y
) )  <->  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )
) )
4315, 42bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  X  =/=  Y )  ->  ( A. x  e.  { X ,  Y } A. y  e.  ( A  \  {
x } ) ( F `  x )  =/=  ( F `  y )  <->  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )
) )
443, 43syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  X  =/=  Y )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  ( A  \  { x } ) ( F `  x
)  =/=  ( F `
 y )  <->  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )
) )
4544anbi2d 703 . 2  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  X  =/=  Y )  ->  ( ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  ( A  \  { x } ) ( F `  x
)  =/=  ( F `
 y ) )  <-> 
( F : A --> B  /\  ( F `  X )  =/=  ( F `  Y )
) ) )
461, 45syl5bb 257 1  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  X  =/=  Y )  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A
--> B  /\  ( F `
 X )  =/=  ( F `  Y
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817    \ cdif 3478   {csn 4033   {cpr 4035   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   ` cfv 5594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fv 5602
This theorem is referenced by:  usgra2wlkspthlem1  24442
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