MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f10 Structured version   Unicode version

Theorem f10 5853
Description: The empty set maps one-to-one into any class. (Contributed by NM, 7-Apr-1998.)
Assertion
Ref Expression
f10  |-  (/) : (/) -1-1-> A

Proof of Theorem f10
StepHypRef Expression
1 f0 5772 . 2  |-  (/) : (/) --> A
2 fun0 5651 . . 3  |-  Fun  (/)
3 cnv0 5416 . . . 4  |-  `' (/)  =  (/)
43funeqi 5614 . . 3  |-  ( Fun  `' (/)  <->  Fun  (/) )
52, 4mpbir 209 . 2  |-  Fun  `' (/)
6 df-f1 5599 . 2  |-  ( (/) :
(/) -1-1-> A  <->  ( (/) : (/) --> A  /\  Fun  `' (/) ) )
71, 5, 6mpbir2an 920 1  |-  (/) : (/) -1-1-> A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   (/)c0 3793   `'ccnv 5007   Fun wfun 5588   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599
This theorem is referenced by:  fo00  5855  marypha1lem  7911  hashf1  12509  usgra0  24496
  Copyright terms: Public domain W3C validator