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Theorem extmptsuppeq 6712
Description: The support of an extended function is the same as the original. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
extmptsuppeq.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
extmptsuppeq.a  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
extmptsuppeq.z  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( B  \  A ) )  ->  X  =  Z )
Assertion
Ref Expression
extmptsuppeq  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp  Z
)  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n    n, Z    ph, n
Allowed substitution hints:    W( n)    X( n)

Proof of Theorem extmptsuppeq
StepHypRef Expression
1 extmptsuppeq.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
21adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  A  C_  B
)
32sseld 3352 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  B ) )
43anim1d 561 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  A  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) )  ->  ( n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
5 eldif 3335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( B  \  A )  <->  ( n  e.  B  /\  -.  n  e.  A ) )
6 extmptsuppeq.z . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( B  \  A ) )  ->  X  =  Z )
76adantll 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  n  e.  ( B  \  A
) )  ->  X  =  Z )
85, 7sylan2br 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
n  e.  B  /\  -.  n  e.  A
) )  ->  X  =  Z )
98expr 612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  n  e.  B )  ->  ( -.  n  e.  A  ->  X  =  Z ) )
10 elsnc2g 3904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( X  e.  { Z } 
<->  X  =  Z ) )
11 elndif 3477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  { Z }  ->  -.  X  e.  ( _V  \  { Z } ) )
1210, 11syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( X  =  Z  ->  -.  X  e.  ( _V 
\  { Z }
) ) )
1312ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  n  e.  B )  ->  ( X  =  Z  ->  -.  X  e.  ( _V 
\  { Z }
) ) )
149, 13syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  n  e.  B )  ->  ( -.  n  e.  A  ->  -.  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
1514con4d 105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  n  e.  B )  ->  ( X  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  n  e.  A
) )
1615impr 616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )  ->  n  e.  A )
17 simprr 751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )  ->  X  e.  ( _V  \  { Z } ) )
1816, 17jca 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )  ->  (
n  e.  A  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
1918ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) )  ->  ( n  e.  A  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
204, 19impbid 191 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  A  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) )  <->  ( n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
2120abbidv 2555 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  { n  |  ( n  e.  A  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) }  =  { n  |  ( n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z }
) ) } )
22 df-rab 2722 . . . . 5  |-  { n  e.  A  |  X  e.  ( _V  \  { Z } ) }  =  { n  |  (
n  e.  A  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) }
23 df-rab 2722 . . . . 5  |-  { n  e.  B  |  X  e.  ( _V  \  { Z } ) }  =  { n  |  (
n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) }
2421, 22, 233eqtr4g 2498 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  { n  e.  A  |  X  e.  ( _V  \  { Z } ) }  =  { n  e.  B  |  X  e.  ( _V  \  { Z }
) } )
25 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( n  e.  A  |->  X )  =  ( n  e.  A  |->  X )
26 extmptsuppeq.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
2726, 1ssexd 4436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
2827adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  A  e.  _V )
29 simpl 454 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  Z  e.  _V )
3025, 28, 29mptsuppdifd 6710 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  A  |->  X ) supp  Z )  =  { n  e.  A  |  X  e.  ( _V  \  { Z }
) } )
31 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( n  e.  B  |->  X )  =  ( n  e.  B  |->  X )
3226adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  B  e.  W )
3331, 32, 29mptsuppdifd 6710 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  B  |->  X ) supp  Z )  =  { n  e.  B  |  X  e.  ( _V  \  { Z }
) } )
3424, 30, 333eqtr4d 2483 . . 3  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  A  |->  X ) supp  Z )  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z
) )
3534ex 434 . 2  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp 
Z )  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z ) ) )
36 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  A  |->  X )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  Z  e.  _V )
3736con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  -.  ( ( n  e.  A  |->  X )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V ) )
38 supp0prc 6692 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( n  e.  A  |->  X )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp  Z )  =  (/) )
3937, 38syl 16 . . . 4  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp  Z )  =  (/) )
40 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  B  |->  X )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  Z  e.  _V )
4140con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  -.  ( ( n  e.  B  |->  X )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V ) )
42 supp0prc 6692 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( n  e.  B  |->  X )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z )  =  (/) )
4341, 42syl 16 . . . 4  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z )  =  (/) )
4439, 43eqtr4d 2476 . . 3  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp  Z )  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp 
Z ) )
4544a1d 25 . 2  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  (
ph  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp 
Z )  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z ) ) )
4635, 45pm2.61i 164 1  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp  Z
)  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   {cab 2427   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874    e. cmpt 4347  (class class class)co 6090   supp csupp 6689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-supp 6690
This theorem is referenced by:  cantnfrescl  7880  cantnfres  7881
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