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Theorem extmptsuppeq 6942
Description: The support of an extended function is the same as the original. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
extmptsuppeq.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
extmptsuppeq.a  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
extmptsuppeq.z  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( B  \  A ) )  ->  X  =  Z )
Assertion
Ref Expression
extmptsuppeq  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp  Z
)  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n    n, Z    ph, n
Allowed substitution hints:    W( n)    X( n)

Proof of Theorem extmptsuppeq
StepHypRef Expression
1 extmptsuppeq.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
21adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  A  C_  B
)
32sseld 3498 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  B ) )
43anim1d 564 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  A  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) )  ->  ( n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
5 eldif 3481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( B  \  A )  <->  ( n  e.  B  /\  -.  n  e.  A ) )
6 extmptsuppeq.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( B  \  A ) )  ->  X  =  Z )
76adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  n  e.  ( B  \  A
) )  ->  X  =  Z )
85, 7sylan2br 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
n  e.  B  /\  -.  n  e.  A
) )  ->  X  =  Z )
98expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  n  e.  B )  ->  ( -.  n  e.  A  ->  X  =  Z ) )
10 elsnc2g 4062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( X  e.  { Z } 
<->  X  =  Z ) )
11 elndif 3624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  { Z }  ->  -.  X  e.  ( _V  \  { Z } ) )
1210, 11syl6bir 229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( X  =  Z  ->  -.  X  e.  ( _V 
\  { Z }
) ) )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  n  e.  B )  ->  ( X  =  Z  ->  -.  X  e.  ( _V 
\  { Z }
) ) )
149, 13syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  n  e.  B )  ->  ( -.  n  e.  A  ->  -.  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
1514con4d 105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  n  e.  B )  ->  ( X  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  n  e.  A
) )
1615impr 619 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )  ->  n  e.  A )
17 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )  ->  X  e.  ( _V  \  { Z } ) )
1816, 17jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )  ->  (
n  e.  A  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
1918ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) )  ->  ( n  e.  A  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
204, 19impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  A  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) )  <->  ( n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
2120rabbidva2 3099 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  { n  e.  A  |  X  e.  ( _V  \  { Z } ) }  =  { n  e.  B  |  X  e.  ( _V  \  { Z }
) } )
22 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( n  e.  A  |->  X )  =  ( n  e.  A  |->  X )
23 extmptsuppeq.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
2423, 1ssexd 4603 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
2524adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  A  e.  _V )
26 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  Z  e.  _V )
2722, 25, 26mptsuppdifd 6940 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  A  |->  X ) supp  Z )  =  { n  e.  A  |  X  e.  ( _V  \  { Z }
) } )
28 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( n  e.  B  |->  X )  =  ( n  e.  B  |->  X )
2923adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  B  e.  W )
3028, 29, 26mptsuppdifd 6940 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  B  |->  X ) supp  Z )  =  { n  e.  B  |  X  e.  ( _V  \  { Z }
) } )
3121, 27, 303eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  A  |->  X ) supp  Z )  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z
) )
3231ex 434 . 2  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp 
Z )  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z ) ) )
33 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  A  |->  X )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  Z  e.  _V )
3433con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  -.  ( ( n  e.  A  |->  X )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V ) )
35 supp0prc 6920 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( n  e.  A  |->  X )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp  Z )  =  (/) )
3634, 35syl 16 . . . 4  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp  Z )  =  (/) )
37 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  B  |->  X )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  Z  e.  _V )
3837con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  -.  ( ( n  e.  B  |->  X )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V ) )
39 supp0prc 6920 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( n  e.  B  |->  X )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z )  =  (/) )
4038, 39syl 16 . . . 4  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z )  =  (/) )
4136, 40eqtr4d 2501 . . 3  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp  Z )  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp 
Z ) )
4241a1d 25 . 2  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  (
ph  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp 
Z )  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z ) ) )
4332, 42pm2.61i 164 1  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp  Z
)  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032    |-> cmpt 4515  (class class class)co 6296   supp csupp 6917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-supp 6918
This theorem is referenced by:  cantnfrescl  8112  cantnfres  8113
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