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Theorem extmptsuppeq 6921
Description: The support of an extended function is the same as the original. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
extmptsuppeq.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
extmptsuppeq.a  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
extmptsuppeq.z  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( B  \  A ) )  ->  X  =  Z )
Assertion
Ref Expression
extmptsuppeq  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp  Z
)  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n    n, Z    ph, n
Allowed substitution hints:    W( n)    X( n)

Proof of Theorem extmptsuppeq
StepHypRef Expression
1 extmptsuppeq.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
21adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  A  C_  B
)
32sseld 3503 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  B ) )
43anim1d 564 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  A  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) )  ->  ( n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
5 eldif 3486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( B  \  A )  <->  ( n  e.  B  /\  -.  n  e.  A ) )
6 extmptsuppeq.z . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( B  \  A ) )  ->  X  =  Z )
76adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  n  e.  ( B  \  A
) )  ->  X  =  Z )
85, 7sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
n  e.  B  /\  -.  n  e.  A
) )  ->  X  =  Z )
98expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  n  e.  B )  ->  ( -.  n  e.  A  ->  X  =  Z ) )
10 elsnc2g 4057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( X  e.  { Z } 
<->  X  =  Z ) )
11 elndif 3628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  { Z }  ->  -.  X  e.  ( _V  \  { Z } ) )
1210, 11syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( X  =  Z  ->  -.  X  e.  ( _V 
\  { Z }
) ) )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  n  e.  B )  ->  ( X  =  Z  ->  -.  X  e.  ( _V 
\  { Z }
) ) )
149, 13syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  n  e.  B )  ->  ( -.  n  e.  A  ->  -.  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
1514con4d 105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  n  e.  B )  ->  ( X  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  n  e.  A
) )
1615impr 619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )  ->  n  e.  A )
17 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )  ->  X  e.  ( _V  \  { Z } ) )
1816, 17jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )  ->  (
n  e.  A  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) )
1918ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) )  ->  ( n  e.  A  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
204, 19impbid 191 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  A  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) )  <->  ( n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) ) )
2120abbidv 2603 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  { n  |  ( n  e.  A  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) }  =  { n  |  ( n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z }
) ) } )
22 df-rab 2823 . . . . 5  |-  { n  e.  A  |  X  e.  ( _V  \  { Z } ) }  =  { n  |  (
n  e.  A  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) }
23 df-rab 2823 . . . . 5  |-  { n  e.  B  |  X  e.  ( _V  \  { Z } ) }  =  { n  |  (
n  e.  B  /\  X  e.  ( _V  \  { Z } ) ) }
2421, 22, 233eqtr4g 2533 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  { n  e.  A  |  X  e.  ( _V  \  { Z } ) }  =  { n  e.  B  |  X  e.  ( _V  \  { Z }
) } )
25 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( n  e.  A  |->  X )  =  ( n  e.  A  |->  X )
26 extmptsuppeq.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
2726, 1ssexd 4594 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
2827adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  A  e.  _V )
29 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  Z  e.  _V )
3025, 28, 29mptsuppdifd 6919 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  A  |->  X ) supp  Z )  =  { n  e.  A  |  X  e.  ( _V  \  { Z }
) } )
31 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( n  e.  B  |->  X )  =  ( n  e.  B  |->  X )
3226adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  B  e.  W )
3331, 32, 29mptsuppdifd 6919 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  B  |->  X ) supp  Z )  =  { n  e.  B  |  X  e.  ( _V  \  { Z }
) } )
3424, 30, 333eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
n  e.  A  |->  X ) supp  Z )  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z
) )
3534ex 434 . 2  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp 
Z )  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z ) ) )
36 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  A  |->  X )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  Z  e.  _V )
3736con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  -.  ( ( n  e.  A  |->  X )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V ) )
38 supp0prc 6901 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( n  e.  A  |->  X )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp  Z )  =  (/) )
3937, 38syl 16 . . . 4  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp  Z )  =  (/) )
40 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  B  |->  X )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  Z  e.  _V )
4140con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  -.  ( ( n  e.  B  |->  X )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V ) )
42 supp0prc 6901 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( n  e.  B  |->  X )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z )  =  (/) )
4341, 42syl 16 . . . 4  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z )  =  (/) )
4439, 43eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp  Z )  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp 
Z ) )
4544a1d 25 . 2  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  (
ph  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp 
Z )  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z ) ) )
4635, 45pm2.61i 164 1  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  A  |->  X ) supp  Z
)  =  ( ( n  e.  B  |->  X ) supp  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027    |-> cmpt 4505  (class class class)co 6282   supp csupp 6898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-supp 6899
This theorem is referenced by:  cantnfrescl  8091  cantnfres  8092
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