MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exse2 Structured version   Unicode version

Theorem exse2 6715
Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
exse2  |-  ( R  e.  V  ->  R Se  A )

Proof of Theorem exse2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2818 . . . . 5  |-  { y  e.  A  |  y R x }  =  { y  |  ( y  e.  A  /\  y R x ) }
2 vex 3111 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
3 vex 3111 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
42, 3breldm 5200 . . . . . . 7  |-  ( y R x  ->  y  e.  dom  R )
54adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x )  -> 
y  e.  dom  R
)
65abssi 3570 . . . . 5  |-  { y  |  ( y  e.  A  /\  y R x ) }  C_  dom  R
71, 6eqsstri 3529 . . . 4  |-  { y  e.  A  |  y R x }  C_  dom  R
8 dmexg 6707 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  dom  R  e.  _V )
9 ssexg 4588 . . . 4  |-  ( ( { y  e.  A  |  y R x }  C_  dom  R  /\  dom  R  e.  _V )  ->  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
107, 8, 9sylancr 663 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
1110ralrimivw 2874 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  A. x  e.  A  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
12 df-se 4834 . 2  |-  ( R Se  A  <->  A. x  e.  A  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
1311, 12sylibr 212 1  |-  ( R  e.  V  ->  R Se  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762   {cab 2447   A.wral 2809   {crab 2813   _Vcvv 3108    C_ wss 3471   class class class wbr 4442   Se wse 4831   dom cdm 4994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-se 4834  df-cnv 5002  df-dm 5004  df-rn 5005
This theorem is referenced by:  dfac8clem  8404
  Copyright terms: Public domain W3C validator