MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exse2 Structured version   Unicode version

Theorem exse2 6725
Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
exse2  |-  ( R  e.  V  ->  R Se  A )

Proof of Theorem exse2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2765 . . . . 5  |-  { y  e.  A  |  y R x }  =  { y  |  ( y  e.  A  /\  y R x ) }
2 vex 3064 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
3 vex 3064 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
42, 3breldm 5030 . . . . . . 7  |-  ( y R x  ->  y  e.  dom  R )
54adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x )  -> 
y  e.  dom  R
)
65abssi 3516 . . . . 5  |-  { y  |  ( y  e.  A  /\  y R x ) }  C_  dom  R
71, 6eqsstri 3474 . . . 4  |-  { y  e.  A  |  y R x }  C_  dom  R
8 dmexg 6717 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  dom  R  e.  _V )
9 ssexg 4542 . . . 4  |-  ( ( { y  e.  A  |  y R x }  C_  dom  R  /\  dom  R  e.  _V )  ->  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
107, 8, 9sylancr 663 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
1110ralrimivw 2821 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  A. x  e.  A  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
12 df-se 4785 . 2  |-  ( R Se  A  <->  A. x  e.  A  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
1311, 12sylibr 214 1  |-  ( R  e.  V  ->  R Se  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1844   {cab 2389   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3061    C_ wss 3416   class class class wbr 4397   Se wse 4782   dom cdm 4825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-se 4785  df-cnv 4833  df-dm 4835  df-rn 4836
This theorem is referenced by:  dfac8clem  8447
  Copyright terms: Public domain W3C validator