Theorem expwordi 7848

Description: Weak ordering relationship for exponentiation.

Assertion

Ref	Expression
expwordi	|- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 <_ A /\ M <_ N)) -> (A^M) <_ (A^N))

Proof of Theorem expwordi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 6598	. . . . 5 |- 1 e. RR
2		leloe 6688	. . . . 5 |- ((1 e. RR /\ A e. RR) -> (1 <_ A <-> (1 < A \/ 1 = A)))
3	1, 2	mpan 759	. . . 4 |- (A e. RR -> (1 <_ A <-> (1 < A \/ 1 = A)))
4	3	3ad2ant1 897	. . 3 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 <_ A <-> (1 < A \/ 1 = A)))
5		expord 7847	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> (M < N <-> (A^M) < (A^N)))
6	5	biimpd 170	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> (M < N -> (A^M) < (A^N)))
7		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (M = N -> (A^M) = (A^N))
8	7	a1i 8	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> (M = N -> (A^M) = (A^N)))
9	6, 8	orim12d 624	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> ((M < N \/ M = N) -> ((A^M) < (A^N) \/ (A^M) = (A^N))))
10		leloe 6688	. . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (M <_ N <-> (M < N \/ M = N)))
11		nn0re 7317	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN0 -> M e. RR)
12		nn0re 7317	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN0 -> N e. RR)
13	10, 11, 12	syl2an 503	. . . . . . . 8 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M <_ N <-> (M < N \/ M = N)))
14	13	3adant1 894	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M <_ N <-> (M < N \/ M = N)))
15	14	adantr 425	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> (M <_ N <-> (M < N \/ M = N)))
16		reexpcl 7823	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ M e. NN0) -> (A^M) e. RR)
17	16	3adant3 896	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (A^M) e. RR)
18		reexpcl 7823	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ N e. NN0) -> (A^N) e. RR)
19	18	3adant2 895	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (A^N) e. RR)
20		leloe 6688	. . . . . . . 8 |- (((A^M) e. RR /\ (A^N) e. RR) -> ((A^M) <_ (A^N) <-> ((A^M) < (A^N) \/ (A^M) = (A^N))))
21	17, 19, 20	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((A^M) <_ (A^N) <-> ((A^M) < (A^N) \/ (A^M) = (A^N))))
22	21	adantr 425	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> ((A^M) <_ (A^N) <-> ((A^M) < (A^N) \/ (A^M) = (A^N))))
23	9, 15, 22	3imtr4d 602	. . . . 5 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> (M <_ N -> (A^M) <_ (A^N)))
24	23	ex 402	. . . 4 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 < A -> (M <_ N -> (A^M) <_ (A^N))))
25		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (1 = A -> (1^M) = (A^M))
26		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (1 = A -> (1^N) = (A^N))
27	25, 26	breq12d 3351	. . . . . . 7 |- (1 = A -> ((1^M) <_ (1^N) <-> (A^M) <_ (A^N)))
28	1	leidi 6790	. . . . . . . 8 |- 1 <_ 1
29		1exp 7827	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN0 -> (1^M) = 1)
30		1exp 7827	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN0 -> (1^N) = 1)
31	29, 30	breqan12d 3354	. . . . . . . 8 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((1^M) <_ (1^N) <-> 1 <_ 1))
32	28, 31	mpbiri 211	. . . . . . 7 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1^M) <_ (1^N))
33	27, 32	syl5cbi 226	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 = A -> (A^M) <_ (A^N)))
34	33	3adant1 894	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 = A -> (A^M) <_ (A^N)))
35	34	a1dd 53	. . . 4 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 = A -> (M <_ N -> (A^M) <_ (A^N))))
36	24, 35	jaod 469	. . 3 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((1 < A \/ 1 = A) -> (M <_ N -> (A^M) <_ (A^N))))
37	4, 36	sylbid 220	. 2 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 <_ A -> (M <_ N -> (A^M) <_ (A^N))))
38	37	imp32 390	1 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 <_ A /\ M <_ N)) -> (A^M) <_ (A^N))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   <_ cle 6448  NN0cn0 6450   < clt 6653  ^cexp 7811

This theorem is referenced by:  expnlbnd2 7903  digit1 7905  faclbnd 8197  faclbnd3 8199  faclbnd4lem1 8200  efaddlem10 8609  efaddlem12 8611  efaddlem20 8619  sin01bndlem1 8733  heiborlem35 15989

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812

Copyright terms: Public domain