Theorem expus 14726

Description: The exponentiation of a member of a monoid belongs to the underlying set.

Hypotheses

Ref	Expression
expmiz.2	|- F = (rec({<.a, b>. | b = (aGA)}, (Id` G)) |` om)
expus.1	|- G e. Mnd
expus.3	|- A e. X
expus.4	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
expus	|- (x e. om -> (F` x) e. X)

Distinct variable groups:   A,a,b   F,a,b   x,F   G,a,b   x,X

Proof of Theorem expus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 4681	. . 3 |- (x = (/) -> (F` x) = (F` (/)))
2	1	eleq1d 1963	. 2 |- (x = (/) -> ((F` x) e. X <-> (F` (/)) e. X))
3		fveq2 4681	. . 3 |- (x = y -> (F` x) = (F` y))
4	3	eleq1d 1963	. 2 |- (x = y -> ((F` x) e. X <-> (F` y) e. X))
5		fveq2 4681	. . 3 |- (x = suc y -> (F` x) = (F` suc y))
6	5	eleq1d 1963	. 2 |- (x = suc y -> ((F` x) e. X <-> (F` suc y) e. X))
7		expus.1	. . . 4 |- G e. Mnd
8		mndismgm 10388	. . . . . 6 |- (G e. Mnd -> G e. Magma)
9		mndisexid 10387	. . . . . 6 |- (G e. Mnd -> G e. ExId )
10	8, 9	jca 310	. . . . 5 |- (G e. Mnd -> (G e. Magma /\ G e. ExId ))
11		elin 2786	. . . . 5 |- (G e. (Magma i^i ExId ) <-> (G e. Magma /\ G e. ExId ))
12	10, 11	sylibr 217	. . . 4 |- (G e. Mnd -> G e. (Magma i^i ExId ))
13	7, 12	ax-mp 7	. . 3 |- G e. (Magma i^i ExId )
14		expus.4	. . . 4 |- X = ran G
15		expmiz.2	. . . . 5 |- F = (rec({<.a, b>. | b = (aGA)}, (Id` G)) |` om)
16	15	expmiz 14724	. . . 4 |- (F` (/)) = (Id` G)
17	14, 16	iorlid 10375	. . 3 |- (G e. (Magma i^i ExId ) -> (F` (/)) e. X)
18	13, 17	ax-mp 7	. 2 |- (F` (/)) e. X
19	15	expm 14725	. . . . 5 |- (y e. om -> (F` suc y) = ((F` y)GA))
20	19	adantr 425	. . . 4 |- ((y e. om /\ (F` y) e. X) -> (F` suc y) = ((F` y)GA))
21	14	mndio 14719	. . . . . . 7 |- (G e. Mnd -> G:(X X. X)-->X)
22	7, 21	ax-mp 7	. . . . . 6 |- G:(X X. X)-->X
23		expus.3	. . . . . 6 |- A e. X
24		foprrn 4965	. . . . . 6 |- ((G:(X X. X)-->X /\ (F` y) e. X /\ A e. X) -> ((F` y)GA) e. X)
25	22, 23, 24	mp3an13 1182	. . . . 5 |- ((F` y) e. X -> ((F` y)GA) e. X)
26	25	adantl 424	. . . 4 |- ((y e. om /\ (F` y) e. X) -> ((F` y)GA) e. X)
27	20, 26	eqeltrd 1971	. . 3 |- ((y e. om /\ (F` y) e. X) -> (F` suc y) e. X)
28	27	ex 402	. 2 |- (y e. om -> ((F` y) e. X -> (F` suc y) e. X))
29	2, 4, 6, 18, 28	finds1 3982	1 |- (x e. om -> (F` x) e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592  (/)c0 2875  {copab 3395  suc csuc 3659  omcom 3949   X. cxp 3984  ran crn 3987   |` cres 3988  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  reccrdg 5139  Idcgi 9312   ExId cexid 10361  Magmacmagm 10365  Mndcmnd 10384

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014  df-opr 4886  df-rdg 5140  df-gid 9317  df-ass 10360  df-exid 10362  df-mgm 10366  df-sgr 10378  df-mnd 10385

Copyright terms: Public domain