MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expubnd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem expubnd 12330
Description: An upper bound on  A ^ N when  2  <_  A. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
expubnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  2  <_  A )  ->  ( A ^ N )  <_ 
( ( 2 ^ N )  x.  (
( A  -  1 ) ^ N ) ) )

Proof of Theorem expubnd
StepHypRef Expression
1 simp1 1007 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  2  <_  A )  ->  A  e.  RR )
2 2re 10676 . . . . 5  |-  2  e.  RR
3 peano2rem 9938 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
4 remulcl 9621 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( A  -  1
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( A  -  1 ) )  e.  RR )
52, 3, 4sylancr 668 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  x.  ( A  -  1 ) )  e.  RR )
653ad2ant1 1028 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  2  <_  A )  ->  (
2  x.  ( A  -  1 ) )  e.  RR )
7 simp2 1008 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  2  <_  A )  ->  N  e.  NN0 )
8 0le2 10697 . . . . . . 7  |-  0  <_  2
9 0re 9640 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
10 letr 9724 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  2  /\  2  <_  A )  ->  0  <_  A
) )
119, 2, 10mp3an12 1353 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  2  /\  2  <_  A )  ->  0  <_  A
) )
128, 11mpani 681 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  <_  A  ->  0  <_  A ) )
1312imp 431 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
0  <_  A )
14 resubcl 9935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( A  -  2 )  e.  RR )
152, 14mpan2 676 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  2 )  e.  RR )
16 leadd2 10080 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( A  -  2 )  e.  RR )  -> 
( 2  <_  A  <->  ( ( A  -  2 )  +  2 )  <_  ( ( A  -  2 )  +  A ) ) )
172, 16mp3an1 1350 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( A  -  2
)  e.  RR )  ->  ( 2  <_  A 
<->  ( ( A  - 
2 )  +  2 )  <_  ( ( A  -  2 )  +  A ) ) )
1815, 17mpdan 673 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  <_  A  <->  ( ( A  -  2 )  +  2 )  <_ 
( ( A  - 
2 )  +  A
) ) )
1918biimpa 487 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
( ( A  - 
2 )  +  2 )  <_  ( ( A  -  2 )  +  A ) )
20 recn 9626 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
21 2cn 10677 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
22 npcan 9881 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( A  - 
2 )  +  2 )  =  A )
2320, 21, 22sylancl 667 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  2 )  +  2 )  =  A )
2423adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
( ( A  - 
2 )  +  2 )  =  A )
25 ax-1cn 9594 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
26 subdi 10049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( A  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  A )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
2721, 25, 26mp3an13 1354 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( A  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  A )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
28 2times 10725 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
29 2t1e2 10755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
3128, 30oveq12d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  -  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( A  +  A )  - 
2 ) )
32 addsub 9883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( A  +  A
)  -  2 )  =  ( ( A  -  2 )  +  A ) )
3321, 32mp3an3 1352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( A  +  A )  -  2 )  =  ( ( A  -  2 )  +  A ) )
3433anidms 650 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  A
)  -  2 )  =  ( ( A  -  2 )  +  A ) )
3527, 31, 343eqtrrd 2489 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  -  2 )  +  A )  =  ( 2  x.  ( A  -  1 ) ) )
3620, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  2 )  +  A )  =  ( 2  x.  ( A  -  1 ) ) )
3736adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
( ( A  - 
2 )  +  A
)  =  ( 2  x.  ( A  - 
1 ) ) )
3819, 24, 373brtr3d 4431 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  ->  A  <_  ( 2  x.  ( A  -  1 ) ) )
3913, 38jca 535 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  ( A  - 
1 ) ) ) )
40393adant2 1026 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  2  <_  A )  ->  (
0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  ( A  -  1 ) ) ) )
41 leexp1a 12328 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( A  -  1 ) )  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  ( A  - 
1 ) ) ) )  ->  ( A ^ N )  <_  (
( 2  x.  ( A  -  1 ) ) ^ N ) )
421, 6, 7, 40, 41syl31anc 1270 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  2  <_  A )  ->  ( A ^ N )  <_ 
( ( 2  x.  ( A  -  1 ) ) ^ N
) )
433recnd 9666 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
44 mulexp 12308 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A  -  1
)  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  ( A  -  1 ) ) ^ N
)  =  ( ( 2 ^ N )  x.  ( ( A  -  1 ) ^ N ) ) )
4521, 44mp3an1 1350 . . . 4  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  ( A  -  1 ) ) ^ N
)  =  ( ( 2 ^ N )  x.  ( ( A  -  1 ) ^ N ) ) )
4643, 45sylan 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  ( A  -  1 ) ) ^ N
)  =  ( ( 2 ^ N )  x.  ( ( A  -  1 ) ^ N ) ) )
47463adant3 1027 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  2  <_  A )  ->  (
( 2  x.  ( A  -  1 ) ) ^ N )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ N
) ) )
4842, 47breqtrd 4426 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  2  <_  A )  ->  ( A ^ N )  <_ 
( ( 2 ^ N )  x.  (
( A  -  1 ) ^ N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   class class class wbr 4401  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541    <_ cle 9673    - cmin 9857   2c2 10656   NN0cn0 10866   ^cexp 12269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-seq 12211  df-exp 12270
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  12475
  Copyright terms: Public domain W3C validator