Theorem expubnd 7853

Description: An upper bound on A^N when 2 <_ A.

Assertion

Ref	Expression
expubnd	|- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (A^N) <_ ((2^N) x. ((A - 1)^N)))

Proof of Theorem expubnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 876	. . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> A e. RR)
2		remulcl 6457	. . . . 5 |- ((2 e. RR /\ (A - 1) e. RR) -> (2 x. (A - 1)) e. RR)
3		2re 7163	. . . . 5 |- 2 e. RR
4		peano2rem 6605	. . . . 5 |- (A e. RR -> (A - 1) e. RR)
5	2, 3, 4	sylancr 526	. . . 4 |- (A e. RR -> (2 x. (A - 1)) e. RR)
6	5	3ad2ant1 897	. . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (2 x. (A - 1)) e. RR)
7		simp2 877	. . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> N e. NN0)
8		0re 6603	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
9		2pos 7173	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
10	8, 3, 9	ltleii 6756	. . . . . . 7 |- 0 <_ 2
11		letr 6695	. . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ 2 e. RR /\ A e. RR) -> ((0 <_ 2 /\ 2 <_ A) -> 0 <_ A))
12	8, 3, 11	mp3an12 1181	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((0 <_ 2 /\ 2 <_ A) -> 0 <_ A))
13	10, 12	mpani 762	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (2 <_ A -> 0 <_ A))
14	13	imp 377	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> 0 <_ A)
15		resubcl 6601	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ 2 e. RR) -> (A - 2) e. RR)
16	3, 15	mpan2 760	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (A - 2) e. RR)
17		leadd2 6809	. . . . . . . . 9 |- ((2 e. RR /\ A e. RR /\ (A - 2) e. RR) -> (2 <_ A <-> ((A - 2) + 2) <_ ((A - 2) + A)))
18	3, 17	mp3an1 1178	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ (A - 2) e. RR) -> (2 <_ A <-> ((A - 2) + 2) <_ ((A - 2) + A)))
19	16, 18	mpdan 768	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (2 <_ A <-> ((A - 2) + 2) <_ ((A - 2) + A)))
20	19	biimpa 460	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> ((A - 2) + 2) <_ ((A - 2) + A))
21		npcan 6559	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ 2 e. CC) -> ((A - 2) + 2) = A)
22		recn 6466	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
23		2cn 7164	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
24	21, 22, 23	sylancl 525	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((A - 2) + 2) = A)
25	24	adantr 425	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> ((A - 2) + 2) = A)
26		ax1cn 6422	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
27		subdi 6590	. . . . . . . . . 10 |- ((2 e. CC /\ A e. CC /\ 1 e. CC) -> (2 x. (A - 1)) = ((2 x. A) - (2 x. 1)))
28	23, 26, 27	mp3an13 1182	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (2 x. (A - 1)) = ((2 x. A) - (2 x. 1)))
29		2times 7188	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (2 x. A) = (A + A))
30	23	mulid1i 6485	. . . . . . . . . . 11 |- (2 x. 1) = 2
31	30	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (2 x. 1) = 2)
32	29, 31	opreq12d 4900	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> ((2 x. A) - (2 x. 1)) = ((A + A) - 2))
33		addsub 6542	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ A e. CC /\ 2 e. CC) -> ((A + A) - 2) = ((A - 2) + A))
34	23, 33	mp3an3 1180	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ A e. CC) -> ((A + A) - 2) = ((A - 2) + A))
35	34	anidms 480	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> ((A + A) - 2) = ((A - 2) + A))
36	28, 32, 35	3eqtrrd 1930	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> ((A - 2) + A) = (2 x. (A - 1)))
37	22, 36	syl 12	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((A - 2) + A) = (2 x. (A - 1)))
38	37	adantr 425	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> ((A - 2) + A) = (2 x. (A - 1)))
39	20, 25, 38	3brtr3d 3366	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> A <_ (2 x. (A - 1)))
40	14, 39	jca 310	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> (0 <_ A /\ A <_ (2 x. (A - 1))))
41	40	3adant2 895	. . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (0 <_ A /\ A <_ (2 x. (A - 1))))
42		expmwordi 7851	. . 3 |- (((A e. RR /\ (2 x. (A - 1)) e. RR /\ N e. NN0) /\ (0 <_ A /\ A <_ (2 x. (A - 1)))) -> (A^N) <_ ((2 x. (A - 1))^N))
43	1, 6, 7, 41, 42	syl31anc 1103	. 2 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (A^N) <_ ((2 x. (A - 1))^N))
44		mulexp 7836	. . . . 5 |- ((2 e. CC /\ (A - 1) e. CC /\ N e. NN0) -> ((2 x. (A - 1))^N) = ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
45	23, 44	mp3an1 1178	. . . 4 |- (((A - 1) e. CC /\ N e. NN0) -> ((2 x. (A - 1))^N) = ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
46	4	recnd 6468	. . . 4 |- (A e. RR -> (A - 1) e. CC)
47	45, 46	sylan 497	. . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0) -> ((2 x. (A - 1))^N) = ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
48	47	3adant3 896	. 2 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> ((2 x. (A - 1))^N) = ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
49	43, 48	breqtrd 3361	1 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (A^N) <_ ((2^N) x. ((A - 1)^N)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   <_ cle 6448  NN0cn0 6450  2c2 7145  ^cexp 7811

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1 8200

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812

Copyright terms: Public domain