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Theorem expsub 7841
Description: Exponent subtraction law for nonnegative integer exponentiation.
Assertion
Ref Expression
expsub |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ N <_ M) -> (A^(M - N)) = ((A^M) / (A^N)))
Proof of Theorem expsub
StepHypRef Expression
1 simpl1l 927 . . . . 5 |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ N <_ M) -> A e. CC)
2 simpl3 881 . . . . 5 |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ N <_ M) -> N e. NN0)
3 nn0sub 7370 . . . . . . . 8 |- ((N e. NN0 /\ M e. NN0) -> (N <_ M <-> (M - N) e. NN0))
43ancoms 484 . . . . . . 7 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (N <_ M <-> (M - N) e. NN0))
54biimpa 460 . . . . . 6 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ N <_ M) -> (M - N) e. NN0)
653adantl1 1032 . . . . 5 |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ N <_ M) -> (M - N) e. NN0)
7 expadd 7839 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ N e. NN0 /\ (M - N) e. NN0) -> (A^(N + (M - N))) = ((A^N) x. (A^(M - N))))
81, 2, 6, 7syl111anc 1100 . . . 4 |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ N <_ M) -> (A^(N + (M - N))) = ((A^N) x. (A^(M - N))))
9 pncan3 6534 . . . . . . . . 9 |- ((N e. CC /\ M e. CC) -> (N + (M - N)) = M)
10 nn0cn 7318 . . . . . . . . 9 |- (N e. NN0 -> N e. CC)
11 nn0cn 7318 . . . . . . . . 9 |- (M e. NN0 -> M e. CC)
129, 10, 11syl2an 503 . . . . . . . 8 |- ((N e. NN0 /\ M e. NN0) -> (N + (M - N)) = M)
1312ancoms 484 . . . . . . 7 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (N + (M - N)) = M)
1413opreq2d 4898 . . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (A^(N + (M - N))) = (A^M))
15143adant1 894 . . . . 5 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (A^(N + (M - N))) = (A^M))
1615adantr 425 . . . 4 |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ N <_ M) -> (A^(N + (M - N))) = (A^M))
178, 16eqtr3d 1927 . . 3 |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ N <_ M) -> ((A^N) x. (A^(M - N))) = (A^M))
18 expcl 7824 . . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ M e. NN0) -> (A^M) e. CC)
1918adantlr 429 . . . . . 6 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0) -> (A^M) e. CC)
20193adant3 896 . . . . 5 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (A^M) e. CC)
2120adantr 425 . . . 4 |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ N <_ M) -> (A^M) e. CC)
22 expcl 7824 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ (M - N) e. NN0) -> (A^(M - N)) e. CC)
231, 6, 22syl11anc 524 . . . 4 |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ N <_ M) -> (A^(M - N)) e. CC)
24 expcl 7824 . . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ N e. NN0) -> (A^N) e. CC)
2524adantlr 429 . . . . . 6 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ N e. NN0) -> (A^N) e. CC)
26253adant2 895 . . . . 5 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (A^N) e. CC)
2726adantr 425 . . . 4 |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ N <_ M) -> (A^N) e. CC)
28 expne0i 7830 . . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ A =/= 0 /\ N e. NN0) -> (A^N) =/= 0)
29283expa 1067 . . . . . 6 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ N e. NN0) -> (A^N) =/= 0)
30293adant2 895 . . . . 5 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (A^N) =/= 0)
3130adantr 425 . . . 4 |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ N <_ M) -> (A^N) =/= 0)
32 divmul 6896 . . . 4 |- (((A^M) e. CC /\ (A^(M - N)) e. CC /\ ((A^N) e. CC /\ (A^N) =/= 0)) -> (((A^M) / (A^N)) = (A^(M - N)) <-> ((A^N) x. (A^(M - N))) = (A^M)))
3321, 23, 27, 31, 32syl112anc 1104 . . 3 |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ N <_ M) -> (((A^M) / (A^N)) = (A^(M - N)) <-> ((A^N) x. (A^(M - N))) = (A^M)))
3417, 33mpbird 213 . 2 |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ N <_ M) -> ((A^M) / (A^N)) = (A^(M - N)))
3534eqcomd 1889 1 |- ((((A e. CC /\ A =/= 0) /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ N <_ M) -> (A^(M - N)) = ((A^M) / (A^N)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NN0cn0 6450  ^cexp 7811
This theorem is referenced by:  expm1 7843  cvgratlem2ALT 8510  cvgratlem2 8513  heiborlem32 15986
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812
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