Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exprmfct Unicode version

Theorem exprmfct 13065
 Description: Every integer greater than or equal to 2 has a prime factor. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
exprmfct
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem exprmfct
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2b2 10504 . . 3
21simplbi 447 . 2
3 eleq1 2464 . . . 4
43imbi1d 309 . . 3
5 eleq1 2464 . . . 4
6 breq2 4176 . . . . 5
76rexbidv 2687 . . . 4
85, 7imbi12d 312 . . 3
9 eleq1 2464 . . . 4
10 breq2 4176 . . . . 5
1110rexbidv 2687 . . . 4
129, 11imbi12d 312 . . 3
13 eleq1 2464 . . . 4
14 breq2 4176 . . . . 5
1514rexbidv 2687 . . . 4
1613, 15imbi12d 312 . . 3
17 eleq1 2464 . . . 4
18 breq2 4176 . . . . 5
1918rexbidv 2687 . . . 4
2017, 19imbi12d 312 . . 3
21 1m1e0 10024 . . . . 5
22 uz2m1nn 10506 . . . . 5
2321, 22syl5eqelr 2489 . . . 4
24 0nnn 9987 . . . . 5
2524pm2.21i 125 . . . 4
2623, 25syl 16 . . 3
27 prmz 13038 . . . . . 6
28 iddvds 12818 . . . . . 6
2927, 28syl 16 . . . . 5
30 breq1 4175 . . . . . 6
3130rspcev 3012 . . . . 5
3229, 31mpdan 650 . . . 4
3332a1d 23 . . 3
34 simpl 444 . . . . . 6
35 eluzelz 10452 . . . . . . . . . 10
3635ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
37 eluzelz 10452 . . . . . . . . . 10
3837ad2antlr 708 . . . . . . . . 9
39 dvdsmul1 12826 . . . . . . . . 9
4036, 38, 39syl2anc 643 . . . . . . . 8
41 prmz 13038 . . . . . . . . . 10
4241adantl 453 . . . . . . . . 9
4336, 38zmulcld 10337 . . . . . . . . 9
44 dvdstr 12838 . . . . . . . . 9
4542, 36, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . 8
4640, 45mpan2d 656 . . . . . . 7
4746reximdva 2778 . . . . . 6
4834, 47embantd 52 . . . . 5
4948a1dd 44 . . . 4
5049adantrd 455 . . 3
514, 8, 12, 16, 20, 26, 33, 50prmind 13046 . 2
522, 51mpcom 34 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  wrex 2667   class class class wbr 4172  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc0 8946  c1 8947   cmul 8951   clt 9076   cmin 9247  cn 9956  c2 10005  cz 10238  cuz 10444   cdivides 12807  cprime 13034 This theorem is referenced by:  isprm5  13067  maxprmfct  13068  rpexp  13075  pc2dvds  13207  prmunb  13237  ablfacrplem  15578  muval1  20869  musum  20929  lgsne0  21070  dchrisum0flb  21157  nn0prpwlem  26215 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-dvds 12808  df-prm 13035
 Copyright terms: Public domain W3C validator