MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expp1d Structured version   Unicode version

Theorem expp1d 12362
Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
expcld.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
expp1d  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( A ^ N )  x.  A ) )

Proof of Theorem expp1d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 expcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 expp1 12224 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( A ^ N )  x.  A ) )
41, 2, 3syl2anc 665 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( A ^ N )  x.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872  (class class class)co 6244   CCcc 9483   1c1 9486    + caddc 9488    x. cmul 9490   NN0cn0 10815   ^cexp 12217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10556  df-n0 10816  df-z 10884  df-uz 11106  df-seq 12159  df-exp 12218
This theorem is referenced by:  facubnd  12430  hashmap  12550  binomlem  13825  incexclem  13832  geoserg  13862  cvgrat  13877  efcllem  14070  oexpneg  14306  bitsp1  14342  bitsmod  14348  bitsinv1lem  14353  sadcaddlem  14369  sadadd2lem  14371  rplpwr  14462  eulerthlem2  14668  prmdiv  14671  vfermltlALT  14691  pcprendvds2  14729  pcpremul  14731  prmpwdvds  14786  2expltfac  15001  plyco  23132  dgrcolem1  23164  ftalem5  23938  ftalem5OLD  23940  bposlem5  24153  pntlemq  24376  pntlemr  24377  pntlemj  24378  ostth2lem2  24409  ostth2lem3  24410  ex-ind-dvds  25836  nexple  28778  faclimlem3  30327  faclim2  30330  nn0prpwlem  30922  mzpexpmpt  35499  pell14qrexpclnn0  35625  expmordi  35708  jm2.17a  35723  jm2.17b  35724  jm2.17c  35725  jm2.18  35756  cnsrexpcl  35944  inductionexd  36506  binomcxplemnotnn0  36618  stoweidlem3  37746  stoweidlem19  37762  stirlinglem4  37822  stirlinglem7  37825  etransclem23  38005  oexpnegALTV  38619  tgoldbachlt  38722  dignn0flhalflem2  40020  dignn0ehalf  40021  nn0sumshdiglemA  40023  nn0sumshdiglemB  40024
  Copyright terms: Public domain W3C validator