MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expp1d Structured version   Unicode version

Theorem expp1d 12009
Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
expcld.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
expp1d  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( A ^ N )  x.  A ) )

Proof of Theorem expp1d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 expcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 expp1 11872 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( A ^ N )  x.  A ) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( A ^ N )  x.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6091   CCcc 9280   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287   NN0cn0 10579   ^cexp 11865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-seq 11807  df-exp 11866
This theorem is referenced by:  facubnd  12076  hashmap  12197  binomlem  13292  incexclem  13299  geoserg  13328  cvgrat  13343  efcllem  13363  oexpneg  13595  bitsp1  13627  bitsmod  13632  bitsinv1lem  13637  sadcaddlem  13653  sadadd2lem  13655  rplpwr  13740  eulerthlem2  13857  prmdiv  13860  pcprendvds2  13908  pcpremul  13910  prmpwdvds  13965  2expltfac  14119  plyco  21709  dgrcolem1  21740  ftalem5  22414  bposlem5  22627  pntlemq  22850  pntlemr  22851  pntlemj  22852  ostth2lem2  22883  ostth2lem3  22884  faclimlem3  27551  faclim2  27554  nn0prpwlem  28517  mzpexpmpt  29081  pell14qrexpclnn0  29207  expmordi  29288  jm2.17a  29303  jm2.17b  29304  jm2.17c  29305  jm2.18  29337  cnsrexpcl  29522  stoweidlem3  29798  stoweidlem19  29814  stirlinglem4  29872  stirlinglem7  29875
  Copyright terms: Public domain W3C validator