MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expp1 Structured version   Unicode version

Theorem expp1 11868
Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
expp1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( A ^ N )  x.  A ) )

Proof of Theorem expp1
StepHypRef Expression
1 elnn0 10577 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 seqp1 11817 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  ( N  +  1
) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  N
)  x.  ( ( NN  X.  { A } ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
3 nnuz 10892 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
42, 3eleq2s 2533 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  ( N  +  1
) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  N
)  x.  ( ( NN  X.  { A } ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
54adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `
 N )  x.  ( ( NN  X.  { A } ) `  ( N  +  1
) ) ) )
6 peano2nn 10330 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
7 fvconst2g 5928 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN )  ->  ( ( NN 
X.  { A }
) `  ( N  +  1 ) )  =  A )
86, 7sylan2 471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { A } ) `  ( N  +  1
) )  =  A )
98oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( (  seq 1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  N )  x.  (
( NN  X.  { A } ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  N
)  x.  A ) )
105, 9eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `
 N )  x.  A ) )
11 expnnval 11864 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN )  ->  ( A ^
( N  +  1 ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `
 ( N  + 
1 ) ) )
126, 11sylan2 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ ( N  +  1 ) )  =  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  ( N  +  1
) ) )
13 expnnval 11864 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ N
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  N ) )
1413oveq1d 6105 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A ^ N )  x.  A
)  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `
 N )  x.  A ) )
1510, 12, 143eqtr4d 2483 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( A ^ N )  x.  A ) )
16 exp1 11867 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  A )
17 mulid2 9380 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
1816, 17eqtr4d 2476 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  ( 1  x.  A
) )
1918adantr 462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  =  0 )  ->  ( A ^
1 )  =  ( 1  x.  A ) )
20 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  =  0 )  ->  N  =  0 )
2120oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  =  0 )  ->  ( N  + 
1 )  =  ( 0  +  1 ) )
22 0p1e1 10429 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2321, 22syl6eq 2489 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  =  0 )  ->  ( N  + 
1 )  =  1 )
2423oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  =  0 )  ->  ( A ^
( N  +  1 ) )  =  ( A ^ 1 ) )
25 oveq2 6098 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( A ^ N )  =  ( A ^ 0 ) )
26 exp0 11865 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
2725, 26sylan9eqr 2495 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  =  0 )  ->  ( A ^ N )  =  1 )
2827oveq1d 6105 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  =  0 )  ->  ( ( A ^ N )  x.  A )  =  ( 1  x.  A ) )
2919, 24, 283eqtr4d 2483 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  =  0 )  ->  ( A ^
( N  +  1 ) )  =  ( ( A ^ N
)  x.  A ) )
3015, 29jaodan 778 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  e.  NN  \/  N  =  0
) )  ->  ( A ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( A ^ N )  x.  A
) )
311, 30sylan2b 472 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( A ^ N )  x.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   {csn 3874    X. cxp 4834   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZ>=cuz 10857    seqcseq 11802   ^cexp 11861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-seq 11803  df-exp 11862
This theorem is referenced by:  expcllem  11872  expm1t  11888  expeq0  11890  mulexp  11899  expadd  11902  expmul  11905  leexp2r  11917  leexp1a  11918  sqval  11921  cu2  11960  i3  11963  binom3  11981  bernneq  11986  modexp  11995  expp1d  12005  faclbnd  12062  faclbnd2  12063  faclbnd4lem1  12065  faclbnd6  12071  cjexp  12635  absexp  12789  binomlem  13288  climcndslem1  13308  climcndslem2  13309  geolim  13326  geo2sum  13329  efexp  13381  demoivreALT  13481  rpnnen2lem11  13503  prmdvdsexp  13796  pcexp  13922  prmreclem6  13978  decexp2  14100  numexpp1  14103  cnfldexp  17808  expcn  20407  mbfi1fseqlem5  21156  dvexp  21386  aaliou3lem2  21768  tangtx  21926  cxpmul2  22093  mcubic  22201  cubic2  22202  binom4  22204  dquartlem2  22206  quart1lem  22209  quart1  22210  quartlem1  22211  log2cnv  22298  log2ublem2  22301  log2ub  22303  basellem3  22379  chtublem  22509  perfectlem1  22527  perfectlem2  22528  bclbnd  22578  bposlem8  22589  dchrisum0flblem1  22716  pntlemo  22815  qabvexp  22834  nexple  26384  oddpwdc  26667  subfacval2  27005  sinccvglem  27246  heiborlem6  28640  bfplem1  28646  rusgranumwlks  30499  altgsumbcALT  30667
  Copyright terms: Public domain W3C validator