HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem expordi 7845
Description: Ordering relationship for exponentiation.
Assertion
Ref Expression
expordi |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 < A /\ M < N)) -> (A^M) < (A^N))
Proof of Theorem expordi
StepHypRef Expression
1 simpl1 879 . . . 4 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 < A /\ M < N)) -> A e. RR)
2 znnsub 7386 . . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M < N <-> (N - M) e. NN))
3 nn0z 7363 . . . . . . . 8 |- (M e. NN0 -> M e. ZZ)
4 nn0z 7363 . . . . . . . 8 |- (N e. NN0 -> N e. ZZ)
52, 3, 4syl2an 503 . . . . . . 7 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M < N <-> (N - M) e. NN))
653adant1 894 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M < N <-> (N - M) e. NN))
76biimpa 460 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ M < N) -> (N - M) e. NN)
87adantrl 430 . . . 4 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 < A /\ M < N)) -> (N - M) e. NN)
9 simprl 450 . . . 4 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 < A /\ M < N)) -> 1 < A)
10 expgt1 7834 . . . 4 |- ((A e. RR /\ (N - M) e. NN /\ 1 < A) -> 1 < (A^(N - M)))
111, 8, 9, 10syl111anc 1100 . . 3 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 < A /\ M < N)) -> 1 < (A^(N - M)))
12 simpl1 879 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ M < N) -> A e. RR)
13 nnnn0 7315 . . . . . . 7 |- ((N - M) e. NN -> (N - M) e. NN0)
147, 13syl 12 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ M < N) -> (N - M) e. NN0)
15 reexpcl 7823 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ (N - M) e. NN0) -> (A^(N - M)) e. RR)
1612, 14, 15syl11anc 524 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ M < N) -> (A^(N - M)) e. RR)
1716adantrl 430 . . . 4 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 < A /\ M < N)) -> (A^(N - M)) e. RR)
18 reexpcl 7823 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ M e. NN0) -> (A^M) e. RR)
19183adant3 896 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (A^M) e. RR)
2019adantr 425 . . . 4 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 < A /\ M < N)) -> (A^M) e. RR)
21 lt01 6871 . . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
22 0re 6603 . . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
23 1re 6598 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
24 axlttrn 6673 . . . . . . . . . . 11 |- ((0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR) -> ((0 < 1 /\ 1 < A) -> 0 < A))
2522, 23, 24mp3an12 1181 . . . . . . . . . 10 |- (A e. RR -> ((0 < 1 /\ 1 < A) -> 0 < A))
2621, 25mpani 762 . . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> (1 < A -> 0 < A))
2726adantr 425 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ M e. NN0) -> (1 < A -> 0 < A))
28 expgt0 7831 . . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ 0 < A) -> 0 < (A^M))
29283expia 1069 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ M e. NN0) -> (0 < A -> 0 < (A^M)))
3027, 29syld 30 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ M e. NN0) -> (1 < A -> 0 < (A^M)))
31303adant3 896 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 < A -> 0 < (A^M)))
3231imp 377 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> 0 < (A^M))
3332adantrr 431 . . . 4 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 < A /\ M < N)) -> 0 < (A^M))
34 ltmul1 7008 . . . . 5 |- ((1 e. RR /\ (A^(N - M)) e. RR /\ ((A^M) e. RR /\ 0 < (A^M))) -> (1 < (A^(N - M)) <-> (1 x. (A^M)) < ((A^(N - M)) x. (A^M))))
3523, 34mp3an1 1178 . . . 4 |- (((A^(N - M)) e. RR /\ ((A^M) e. RR /\ 0 < (A^M))) -> (1 < (A^(N - M)) <-> (1 x. (A^M)) < ((A^(N - M)) x. (A^M))))
3617, 20, 33, 35syl12anc 1098 . . 3 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 < A /\ M < N)) -> (1 < (A^(N - M)) <-> (1 x. (A^M)) < ((A^(N - M)) x. (A^M))))
3711, 36mpbid 212 . 2 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 < A /\ M < N)) -> (1 x. (A^M)) < ((A^(N - M)) x. (A^M)))
38 expcl 7824 . . . . . 6 |- ((A e. CC /\ M e. NN0) -> (A^M) e. CC)
39 recn 6466 . . . . . 6 |- (A e. RR -> A e. CC)
4038, 39sylan 497 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ M e. NN0) -> (A^M) e. CC)
41 mulid2 6578 . . . . 5 |- ((A^M) e. CC -> (1 x. (A^M)) = (A^M))
4240, 41syl 12 . . . 4 |- ((A e. RR /\ M e. NN0) -> (1 x. (A^M)) = (A^M))
43423adant3 896 . . 3 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 x. (A^M)) = (A^M))
4443adantr 425 . 2 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 < A /\ M < N)) -> (1 x. (A^M)) = (A^M))
45 simp1 876 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> A e. RR)
4645recnd 6468 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> A e. CC)
4746adantr 425 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ M < N) -> A e. CC)
48 simpl2 880 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ M < N) -> M e. NN0)
4947, 7, 483jca 1050 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ M < N) -> (A e. CC /\ (N - M) e. NN /\ M e. NN0))
5049adantrl 430 . . . 4 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 < A /\ M < N)) -> (A e. CC /\ (N - M) e. NN /\ M e. NN0))
51 expadd 7839 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ (N - M) e. NN0 /\ M e. NN0) -> (A^((N - M) + M)) = ((A^(N - M)) x. (A^M)))
5251, 13syl3an2 1131 . . . 4 |- ((A e. CC /\ (N - M) e. NN /\ M e. NN0) -> (A^((N - M) + M)) = ((A^(N - M)) x. (A^M)))
5350, 52syl 12 . . 3 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 < A /\ M < N)) -> (A^((N - M) + M)) = ((A^(N - M)) x. (A^M)))
54 npcan 6559 . . . . . . . 8 |- ((N e. CC /\ M e. CC) -> ((N - M) + M) = N)
55 nn0cn 7318 . . . . . . . 8 |- (N e. NN0 -> N e. CC)
56 nn0cn 7318 . . . . . . . 8 |- (M e. NN0 -> M e. CC)
5754, 55, 56syl2an 503 . . . . . . 7 |- ((N e. NN0 /\ M e. NN0) -> ((N - M) + M) = N)
5857ancoms 484 . . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((N - M) + M) = N)
59583adant1 894 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((N - M) + M) = N)
6059opreq2d 4898 . . . 4 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (A^((N - M) + M)) = (A^N))
6160adantr 425 . . 3 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 < A /\ M < N)) -> (A^((N - M) + M)) = (A^N))
6253, 61eqtr3d 1927 . 2 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 < A /\ M < N)) -> ((A^(N - M)) x. (A^M)) = (A^N))
6337, 44, 623brtr3d 3366 1 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 < A /\ M < N)) -> (A^M) < (A^N))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ZZcz 6451   < clt 6653  ^cexp 7811
This theorem is referenced by:  expcan 7846  expord 7847  expnass 7886  heiborlem35 15989
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812
Copyright terms: Public domain