Theorem expnlbnd2 7903

Description: The reciprocal of exponentiation with a mantissa greater than 1 has no lower bound.

Assertion

Ref	Expression
expnlbnd2	|- ((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (1 / (B^k)) < A))

Distinct variable groups:   j,k,A   B,j,k

Proof of Theorem expnlbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expnlbnd 7902	. 2 |- ((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) -> E.j e. NN (1 / (B^j)) < A)
2		simpll 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) -> B e. RR)
3	2	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) /\ j <_ k) -> B e. RR)
4		nnnn0 7315	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (j e. NN -> j e. NN0)
5	4	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) -> j e. NN0)
6	5	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) /\ j <_ k) -> j e. NN0)
7		nnnn0 7315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (k e. NN -> k e. NN0)
8	7	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) /\ j <_ k) -> k e. NN0)
9		1re 6598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
10		ltle 6690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((1 e. RR /\ B e. RR) -> (1 < B -> 1 <_ B))
11	9, 10	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (B e. RR -> (1 < B -> 1 <_ B))
12	11	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B e. RR /\ 1 < B) -> 1 <_ B)
13	12	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> 1 <_ B)
14	13	anim1i 361	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) /\ j <_ k) -> (1 <_ B /\ j <_ k))
15		expwordi 7848	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((B e. RR /\ j e. NN0 /\ k e. NN0) /\ (1 <_ B /\ j <_ k)) -> (B^j) <_ (B^k))
16	3, 6, 8, 14, 15	syl31anc 1103	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) /\ j <_ k) -> (B^j) <_ (B^k))
17	16	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- ((((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (j <_ k -> (B^j) <_ (B^k)))
18		reexpcl 7823	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B e. RR /\ j e. NN0) -> (B^j) e. RR)
19	18, 4	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. RR /\ j e. NN) -> (B^j) e. RR)
20	19	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) -> (B^j) e. RR)
21	20	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (B^j) e. RR)
22		lt01 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 1
23		0re 6603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
24		lttr 6677	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((0 e. RR /\ 1 e. RR /\ B e. RR) -> ((0 < 1 /\ 1 < B) -> 0 < B))
25	23, 9, 24	mp3an12 1181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (B e. RR -> ((0 < 1 /\ 1 < B) -> 0 < B))
26	22, 25	mpani 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (B e. RR -> (1 < B -> 0 < B))
27	26	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B e. RR /\ 1 < B) -> 0 < B)
28	27	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) -> 0 < B)
29		expgt0 7831	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. RR /\ j e. NN0 /\ 0 < B) -> 0 < (B^j))
30	2, 5, 28, 29	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) -> 0 < (B^j))
31	30	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> 0 < (B^j))
32		reexpcl 7823	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B e. RR /\ k e. NN0) -> (B^k) e. RR)
33	32, 7	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. RR /\ k e. NN) -> (B^k) e. RR)
34	33	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> (B^k) e. RR)
35	34	adantlr 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (B^k) e. RR)
36		simpll 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> B e. RR)
37	7	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> k e. NN0)
38	27	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> 0 < B)
39		expgt0 7831	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 < B) -> 0 < (B^k))
40	36, 37, 38, 39	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> 0 < (B^k))
41	40	adantlr 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> 0 < (B^k))
42		lerec 7068	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((B^j) e. RR /\ 0 < (B^j)) /\ ((B^k) e. RR /\ 0 < (B^k))) -> ((B^j) <_ (B^k) <-> (1 / (B^k)) <_ (1 / (B^j))))
43	21, 31, 35, 41, 42	syl22anc 1101	. . . . . . . . . . 11 |- ((((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ((B^j) <_ (B^k) <-> (1 / (B^k)) <_ (1 / (B^j))))
44	17, 43	sylibd 219	. . . . . . . . . 10 |- ((((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (j <_ k -> (1 / (B^k)) <_ (1 / (B^j))))
45	44	ex 402	. . . . . . . . 9 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) -> (k e. NN -> (j <_ k -> (1 / (B^k)) <_ (1 / (B^j)))))
46	45	3adantl1 1032	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) -> (k e. NN -> (j <_ k -> (1 / (B^k)) <_ (1 / (B^j)))))
47	46	imp31 389	. . . . . . 7 |- (((((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) /\ j <_ k) -> (1 / (B^k)) <_ (1 / (B^j)))
48		recn 6466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. RR -> B e. CC)
49	48	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> B e. CC)
50		gt0ne0 6800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B e. RR /\ 0 < B) -> B =/= 0)
51	27, 50	syldan 516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. RR /\ 1 < B) -> B =/= 0)
52	51	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> B =/= 0)
53		expne0i 7830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. CC /\ B =/= 0 /\ k e. NN0) -> (B^k) =/= 0)
54	49, 52, 37, 53	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> (B^k) =/= 0)
55		rereccl 6981	. . . . . . . . . . . 12 |- (((B^k) e. RR /\ (B^k) =/= 0) -> (1 / (B^k)) e. RR)
56	34, 54, 55	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> (1 / (B^k)) e. RR)
57	56	3adantl1 1032	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> (1 / (B^k)) e. RR)
58	57	adantlr 429	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (1 / (B^k)) e. RR)
59	48	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) -> B e. CC)
60	51	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) -> B =/= 0)
61		expne0i 7830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. CC /\ B =/= 0 /\ j e. NN0) -> (B^j) =/= 0)
62	59, 60, 5, 61	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) -> (B^j) =/= 0)
63		rereccl 6981	. . . . . . . . . . . 12 |- (((B^j) e. RR /\ (B^j) =/= 0) -> (1 / (B^j)) e. RR)
64	20, 62, 63	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) -> (1 / (B^j)) e. RR)
65	64	3adantl1 1032	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) -> (1 / (B^j)) e. RR)
66	65	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (1 / (B^j)) e. RR)
67		rpre 7236	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. RR+ -> A e. RR)
68	67	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) -> A e. RR)
69	68	ad2antrr 440	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> A e. RR)
70		lelttr 6693	. . . . . . . . 9 |- (((1 / (B^k)) e. RR /\ (1 / (B^j)) e. RR /\ A e. RR) -> (((1 / (B^k)) <_ (1 / (B^j)) /\ (1 / (B^j)) < A) -> (1 / (B^k)) < A))
71	58, 66, 69, 70	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- ((((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (((1 / (B^k)) <_ (1 / (B^j)) /\ (1 / (B^j)) < A) -> (1 / (B^k)) < A))
72	71	adantr 425	. . . . . . 7 |- (((((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) /\ j <_ k) -> (((1 / (B^k)) <_ (1 / (B^j)) /\ (1 / (B^j)) < A) -> (1 / (B^k)) < A))
73	47, 72	mpand 765	. . . . . 6 |- (((((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) /\ j <_ k) -> ((1 / (B^j)) < A -> (1 / (B^k)) < A))
74	73	ex 402	. . . . 5 |- ((((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (j <_ k -> ((1 / (B^j)) < A -> (1 / (B^k)) < A)))
75	74	com23 36	. . . 4 |- ((((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ((1 / (B^j)) < A -> (j <_ k -> (1 / (B^k)) < A)))
76	75	r19.21adva 2182	. . 3 |- (((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) /\ j e. NN) -> ((1 / (B^j)) < A -> A.k e. NN (j <_ k -> (1 / (B^k)) < A)))
77	76	reximdva 2203	. 2 |- ((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) -> (E.j e. NN (1 / (B^j)) < A -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (1 / (B^k)) < A)))
78	1, 77	mpd 29	1 |- ((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (1 / (B^k)) < A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450  RR+crp 6453   < clt 6653  ^cexp 7811

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-seq1 7721  df-exp 7812

Copyright terms: Public domain