Theorem expnlbnd 7902

Description: The reciprocal of exponentiation with a mantissa greater than 1 has no lower bound.

Assertion

Ref	Expression
expnlbnd	|- ((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) -> E.k e. NN (1 / (B^k)) < A)

Distinct variable groups:   A,k   B,k

Proof of Theorem expnlbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expnbnd 7901	. . 3 |- (((1 / A) e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B) -> E.k e. NN (1 / A) < (B^k))
2		rpre 7236	. . . 4 |- (A e. RR+ -> A e. RR)
3		rpne0 7243	. . . 4 |- (A e. RR+ -> A =/= 0)
4		rereccl 6981	. . . 4 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> (1 / A) e. RR)
5	2, 3, 4	syl11anc 524	. . 3 |- (A e. RR+ -> (1 / A) e. RR)
6	1, 5	syl3an1 1130	. 2 |- ((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) -> E.k e. NN (1 / A) < (B^k))
7		elrp 7233	. . . . . . 7 |- (A e. RR+ <-> (A e. RR /\ 0 < A))
8	7	biimpi 168	. . . . . 6 |- (A e. RR+ -> (A e. RR /\ 0 < A))
9	8	3ad2ant1 897	. . . . 5 |- ((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) -> (A e. RR /\ 0 < A))
10	9	adantr 425	. . . 4 |- (((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> (A e. RR /\ 0 < A))
11		reexpcl 7823	. . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ k e. NN0) -> (B^k) e. RR)
12		nnnn0 7315	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> k e. NN0)
13	11, 12	sylan2 500	. . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ k e. NN) -> (B^k) e. RR)
14	13	adantlr 429	. . . . . 6 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> (B^k) e. RR)
15		simpll 448	. . . . . . 7 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> B e. RR)
16	12	adantl 424	. . . . . . 7 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> k e. NN0)
17		lt01 6871	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
18		0re 6603	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
19		1re 6598	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
20		lttr 6677	. . . . . . . . . . 11 |- ((0 e. RR /\ 1 e. RR /\ B e. RR) -> ((0 < 1 /\ 1 < B) -> 0 < B))
21	18, 19, 20	mp3an12 1181	. . . . . . . . . 10 |- (B e. RR -> ((0 < 1 /\ 1 < B) -> 0 < B))
22	17, 21	mpani 762	. . . . . . . . 9 |- (B e. RR -> (1 < B -> 0 < B))
23	22	imp 377	. . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ 1 < B) -> 0 < B)
24	23	adantr 425	. . . . . . 7 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> 0 < B)
25		expgt0 7831	. . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 < B) -> 0 < (B^k))
26	15, 16, 24, 25	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> 0 < (B^k))
27	14, 26	jca 310	. . . . 5 |- (((B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> ((B^k) e. RR /\ 0 < (B^k)))
28	27	3adantl1 1032	. . . 4 |- (((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> ((B^k) e. RR /\ 0 < (B^k)))
29		ltrec1 7071	. . . 4 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ ((B^k) e. RR /\ 0 < (B^k))) -> ((1 / A) < (B^k) <-> (1 / (B^k)) < A))
30	10, 28, 29	syl11anc 524	. . 3 |- (((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) /\ k e. NN) -> ((1 / A) < (B^k) <-> (1 / (B^k)) < A))
31	30	rexbidva 2120	. 2 |- ((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) -> (E.k e. NN (1 / A) < (B^k) <-> E.k e. NN (1 / (B^k)) < A))
32	6, 31	mpbid 212	1 |- ((A e. RR+ /\ B e. RR /\ 1 < B) -> E.k e. NN (1 / (B^k)) < A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300   =/= wne 2017  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   / cdiv 6447  NNcn 6449  NN0cn0 6450  RR+crp 6453   < clt 6653  ^cexp 7811

This theorem is referenced by:  expnlbnd2 7903  geomcau 15849  heiborlem35 15989

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-seq1 7721  df-exp 7812

Copyright terms: Public domain